دليل المساعدة لتمارين الجبر والحساب

تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، إثبات أن أعداد مقلوبة، حساب القيم المطلقة، والتحقق من أن عبارات معينة أعداد صحيحة طبيعية. إليك الشرح:

تمارين في الجبر والحساب

محور: الحساب في IR
تمرين

تبسيط عبارات جبرية وتطبيقاتها

نعتبر العبارتين: $A=(1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1)-\sqrt{18}$ و $B=\frac{3}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$.

  1. بيّن أن $A=3-2\sqrt{2}$ و $B=3+2\sqrt{2}$.
    1. احسب $A \times B$. ماذا تستنتج بالنسبة إلى A و B؟
    2. استنتج أن العدد A هو عدد موجب.
    3. احسب: $M=|A(B+1)|-|A|$ و $N=A-\left[A-\left(\frac{1}{B}+B\right)\right]$.
    4. أثبت أن $\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\times15\sqrt{2}$ و $\sqrt{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+3}$ عددان صحيحان طبيعيان.
  3. نعتبر العبارتين التاليتين: $D=\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{9}-\sqrt{32}$ و $E=\sqrt{2}(3\sqrt{2}+2)-(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$.
    1. بيّن أن $D=A$ و $E=B$.
    2. بيّن أن E و $1-D$ متقابلان.
    3. اختصر العبارة $G=|1-E|-|D+3\sqrt{2}|$.
    4. أثبت أن $\frac{D}{E}+\frac{E}{D}$ عدد صحيح طبيعي.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • لتبسيط A: قم بعملية النشر (التوزيع) ثم بسّط الجذر $\sqrt{18}$.
  • لتبسيط B: وحّد المقامات. المقام المشترك هو $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$ وهو جداء معتبر.
  • مقلوبان أم متقابلان؟ عددان مقلوبان إذا كان حاصل ضربهما 1. عددان متقابلان إذا كان مجموعهما 0.
  • القيمة المطلقة: لمعرفة $|x|$, يجب أولاً تحديد إشارة $x$. قارن مربع العددين لتحديد الأكبر (مثلاً لمقارنة 3 و $2\sqrt{2}$, قارن $3^2$ و $(2\sqrt{2})^2$).
  • استغلال النتائج: استخدم حقيقة أن A و B مقلوبان ($A \cdot B = 1$) لتبسيط الحسابات في الأسئلة اللاحقة، خاصة تلك التي تحتوي على $\frac{1}{A}$ أو $\frac{1}{B}$.

📝 طريقة الحل

  1. لتبسيط A و B:

    A: انشر $(1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1) = 2\sqrt{2}-1+4- \sqrt{2}$. بسّط $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. ثم اجمع الحدود.

    B: المقام المشترك هو $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1$. اضرب بسط الكسر الأول في $(\sqrt{2}+1)$ وبسط الكسر الثاني في $(\sqrt{2}-1)$.

  2. للسؤال 2:

    أ) اضرب النتائج المبسطة لـ A و B. ستستخدم الجداء المعتبر $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

    ب) لمقارنة 3 و $2\sqrt{2}$, قارن مربعيهما: $3^2=9$ و $(2\sqrt{2})^2=8$. بما أن $9>8$, فإن $3>2\sqrt{2}$, وبالتالي $A=3-2\sqrt{2}$ موجب.

    ج) لحساب M, بما أن A و B موجبان, فإن $|A|=A$ و $|A(B+1)|=A(B+1)$. انشر و استخدم $AB=1$. لحساب N, بسّط ما بين القوسين أولاً, $1/B = A$.

    د) استبدل $1/A$ بـ $B$ و $1/B$ بـ $A$. احسب $(B-A)$ ثم اضرب في $15\sqrt{2}$. احسب $(B+A)$, أضف 3, ثم احسب الجذر التربيعي.

  3. للسؤال 3:

    أ) بسّط كل الجذور في D و E كما فعلت في السؤال 1. انشر الأقواس في E. وقارن النتائج النهائية مع A و B.

    ب) لإثبات أن E و $1-D$ متقابلان, يجب أن تثبت أن مجموعهما يساوي صفر. احسب $E + (1-D)$.

    ج) احسب قيمة ما بداخل كل قيمة مطلقة لتحديد إشارته. $1-E = 1-B$ و $D+3\sqrt{2}=A+3\sqrt{2}$. ثم أزل رمز القيمة المطلقة.

    د) العبارة هي $\frac{A}{B}+\frac{B}{A}$. المقام المشترك هو $AB$. ستجد أن البسط هو $A^2+B^2$. استخدم القاعدة $(x-y)^2+(x+y)^2=2(x^2+y^2)$.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $A=3-2\sqrt{2}$ و $B=3+2\sqrt{2}$:

حساب A: $A=(1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1)-\sqrt{18}$

$A = (1 \cdot 2\sqrt{2} - 1 \cdot 1 + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1) - \sqrt{9 \times 2}$

$A = (2\sqrt{2} - 1 + 4 - \sqrt{2}) - 3\sqrt{2} = (3+\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$.

حساب B: $B=\frac{3}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$

نوحد المقامات. المقام المشترك هو $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1=1$.

$B = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{1} - \frac{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-1)}{1} = (3\sqrt{2}+3) - (2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2)$

$B = 3\sqrt{2}+3 - (\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+3 - \sqrt{2} = 3+2\sqrt{2}$.

2. أ) حساب $A \times B$ والاستنتاج:

$A \times B = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9-8=1$.

الاستنتاج: بما أن $A \times B = 1$, فإن A و B عددان مقلوبان.

2. ب) استنتاج أن A عدد موجب:

لمقارنة 3 و $2\sqrt{2}$, نقارن مربعيهما. $3^2=9$ و $(2\sqrt{2})^2=8$. بما أن $9>8$, فإن $3>2\sqrt{2}$. إذن $A=3-2\sqrt{2} > 0$. A هو عدد موجب.

2. ج) حساب M و N:

$M=|A(B+1)|-|A|$. بما أن A و B موجبان, فإن $|A(B+1)|=A(B+1)$ و $|A|=A$.

$M=A(B+1)-A = AB+A-A=AB=1$.

$N=A-\left[A-\left(\frac{1}{B}+B\right)\right]$. بما أن $1/B = A$, فإن:

$N=A-\left[A-\left(A+B\right)\right] = A-\left[A-A-B\right] = A - (-B) = A+B$.

$A+B = (3-2\sqrt{2})+(3+2\sqrt{2})=6$. إذن $N=6$.

2. د) إثبات أن العبارتين عددان صحيحان طبيعيان:

العبارة الأولى: $(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})\times15\sqrt{2} = (B-A)\times15\sqrt{2}$.

$B-A = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

إذن $(4\sqrt{2}) \times 15\sqrt{2} = 60 \times (\sqrt{2})^2 = 60 \times 2 = 120$. و 120 عدد صحيح طبيعي.

العبارة الثانية: $\sqrt{\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+3} = \sqrt{B+A+3} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9}=3$. و 3 عدد صحيح طبيعي.

3. أ) تبيين أن $D=A$ و $E=B$:

$D=\sqrt{98}-\sqrt{50}+\sqrt{9}-\sqrt{32} = 7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+3-4\sqrt{2} = 3+(7-5-4)\sqrt{2} = 3-2\sqrt{2}=A$.

$E=\sqrt{2}(3\sqrt{2}+2)-(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = (6+2\sqrt{2}) - (7-4) = 6+2\sqrt{2}-3 = 3+2\sqrt{2}=B$.

3. ب) بيّن أن E و $1-D$ متقابلان:

ملاحظة: قد يوجد خطأ في نص هذا السؤال. عددان متقابلان مجموعهما صفر. سنقوم بالحساب كما هو مكتوب.

نحسب المجموع $E + (1-D) = B + (1-A) = (3+2\sqrt{2}) + (1-(3-2\sqrt{2}))$.

$= 3+2\sqrt{2} + 1-3+2\sqrt{2} = 1+4\sqrt{2}$.

بما أن $1+4\sqrt{2} \neq 0$, فإن E و $1-D$ ليسا متقابلين حسب النص المعطى.

3. ج) اختصار العبارة G:

$G=|1-E|-|D+3\sqrt{2}| = |1-B| - |A+3\sqrt{2}|$.

$1-E = 1-(3+2\sqrt{2}) = -2-2\sqrt{2}$ (سالب). إذن $|1-E| = -(-2-2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$.

$D+3\sqrt{2} = (3-2\sqrt{2})+3\sqrt{2} = 3+\sqrt{2}$ (موجب). إذن $|D+3\sqrt{2}| = 3+\sqrt{2}$.

$G = (2+2\sqrt{2}) - (3+\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}-3-\sqrt{2} = -1+\sqrt{2}$.

3. د) أثبت أن $\frac{D}{E}+\frac{E}{D}$ عدد صحيح طبيعي:

$\frac{D}{E}+\frac{E}{D} = \frac{A}{B}+\frac{B}{A} = \frac{A^2+B^2}{AB}$. بما أن $AB=1$ فإن:

$\frac{A^2+B^2}{1} = A^2+B^2 = (3-2\sqrt{2})^2 + (3+2\sqrt{2})^2$.

نستخدم $(x-y)^2+(x+y)^2 = 2(x^2+y^2)$:

$= 2(3^2 + (2\sqrt{2})^2) = 2(9+8) = 2(17) = 34$. و 34 عدد صحيح طبيعي.