دليل المساعدة لتمارين الجبر والحساب

تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات)، حساب القيم المطلقة، والتعامل مع العبارات الجبرية. إليك الشرح:

تمارين في الجبر والحساب

محور: الحساب في IR
تمرين

حساب وتبسيط عبارات جذرية

نعتبر العددين $a$ و $b$ بحيث $a=3-2\sqrt{2}$ و $b=3-\sqrt{18}+\sqrt{50}$.

  1. بيّن أن $b=3+2\sqrt{2}$.
  2. احسب الجداء $a.b$ واستنتج أن العدد $a$ هو مقلوب العدد $b$.
  3. استنتج القيمة المطلقة لـ $a$.
  4. بيّن أن $a^2=17-12\sqrt{2}$ و $b^2=17+12\sqrt{2}$.
  5. احسب $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.
  6. احسب $a^2 \times b^2$.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • لتبسيط b: فكك الجذور $\sqrt{18}$ و $\sqrt{50}$ إلى أبسط شكل ممكن باستخدام القاعدة $\sqrt{x^2y} = x\sqrt{y}$.
  • لإثبات المقلوب: احسب الجداء $a \times b$. إذا كانت النتيجة 1، فهما مقلوبان. استخدم الجداء المعتبر $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
  • للقيمة المطلقة لـ a: لتحديد إشارة $3-2\sqrt{2}$، قارن بين $3$ و $2\sqrt{2}$ عن طريق مقارنة مربعيهما.
  • لحساب $a^2$ و $b^2$: استخدم الجداءات المعتبرة $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ و $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
  • للسؤال 5 و 6: حاول استخدام النتائج التي حصلت عليها في الأسئلة السابقة لتبسيط الحسابات.

📝 طريقة الحل

  1. تبسيط b: اكتب $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2}$ و $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2}$. أخرج المربعات الكاملة من الجذور ثم اجمع الحدود التي تحتوي على $\sqrt{2}$.
  2. حساب الجداء a.b: اضرب $(3-2\sqrt{2})$ في $(3+2\sqrt{2})$. طبق قاعدة فرق المربعين مباشرة.
  3. القيمة المطلقة لـ a: احسب $3^2$ و $(2\sqrt{2})^2$. قارن بين النتيجتين. إذا كان $3 > 2\sqrt{2}$، فإن $a$ موجب وقيمته المطلقة هي $a$ نفسها.
  4. حساب المربعات: طبق قاعدة مربع فارق $(3-2\sqrt{2})^2$ وقاعدة مربع مجموع $(3+2\sqrt{2})^2$ بالتفصيل.
  5. حساب $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$: وحّد المقامات. المقام المشترك هو $ab$. البسط سيصبح $a^2+b^2$. استخدم نتائج السؤالين 2 و 4.
  6. حساب $a^2 \times b^2$: استخدم الخاصية $x^2 \times y^2 = (x \times y)^2$. استخدم نتيجة السؤال 2.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $b=3+2\sqrt{2}$:

لدينا $b=3-\sqrt{18}+\sqrt{50}$.

$b = 3 - \sqrt{9 \times 2} + \sqrt{25 \times 2}$

$b = 3 - 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$

$b = 3 + (-3+5)\sqrt{2} = 3+2\sqrt{2}$. وهو المطلوب.

2. حساب الجداء $a.b$ واستنتاج أن a مقلوب b:

$a \times b = (3-2\sqrt{2}) \times (3+2\sqrt{2})$

باستخدام الجداء المعتبر $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$a \times b = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9-8=1$.

الاستنتاج: بما أن حاصل ضربهما يساوي 1، فإن العدد $a$ هو مقلوب العدد $b$.

3. استنتاج القيمة المطلقة لـ a:

علينا تحديد إشارة العدد $a = 3-2\sqrt{2}$. نقارن بين 3 و $2\sqrt{2}$:

$3^2 = 9$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

بما أن $9 > 8$, فإن $3 > 2\sqrt{2}$, وبالتالي فإن $3-2\sqrt{2}$ هو عدد موجب.

إذن، القيمة المطلقة لـ $a$ هي $a$ نفسها: $|a| = |3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$.

4. تبيين أن $a^2=17-12\sqrt{2}$ و $b^2=17+12\sqrt{2}$:

$a^2 = (3-2\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$.

$b^2 = (3+2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$.

5. حساب $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2+b^2}{ab}$

من السؤال 2، نعلم أن $ab=1$. ومن السؤال 4، لدينا قيم $a^2$ و $b^2$.

إذن، $\frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{(17-12\sqrt{2})+(17+12\sqrt{2})}{1} = 17 - 12\sqrt{2} + 17 + 12\sqrt{2} = 34$.

6. حساب $a^2 \times b^2$:

الطريقة الأولى: باستخدام خاصية القوى

$a^2 \times b^2 = (a \times b)^2$.

من السؤال 2، نعلم أن $a \times b = 1$.

إذن، $(a \times b)^2 = 1^2 = 1$.

الطريقة الثانية: باستخدام نتائج السؤال 4

$a^2 \times b^2 = (17-12\sqrt{2})(17+12\sqrt{2}) = 17^2 - (12\sqrt{2})^2 = 289 - (144 \times 2) = 289 - 288 = 1$.