تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية، التعامل مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وحساب الكسور. إليك الشرح:
1) تبسيط a:
\( a = 2\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)-4 = 2(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5} - 4 = 2(5) - 2\sqrt{5} - 4 = 10 - 2\sqrt{5} - 4 \)
$$ a=6-2\sqrt{5} $$
2) أ- تبيين أن a و b مقلوبان:
يجب أن نبيّن أن \( a \times b = 1 \). نبسط b أولاً:
\( b=\frac{1}{16}(6+2\sqrt{5}) = \frac{2(3+\sqrt{5})}{16} = \frac{3+\sqrt{5}}{8} \).
\( a \times b = (6-2\sqrt{5}) \times \frac{3+\sqrt{5}}{8} = 2(3-\sqrt{5}) \times \frac{3+\sqrt{5}}{8} = \frac{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}{4} \)
\( = \frac{3^2-(\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9-5}{4} = \frac{4}{4}=1 \).
بما أن جداءهما يساوي 1، فهما مقلوبان.
2) ب- تبيين أن العددين متقابلان:
يجب أن نبيّن أن مجموعهما يساوي صفر: \( (b(a-1)-1) + b = 0 \).
\( ba - b - 1 + b = ba - 1 \).
من السؤال السابق نعلم أن \( ba = 1 \).
إذن \( ba - 1 = 1 - 1 = 0 \). بما أن مجموعهما صفر، فهما متقابلان.
3) أ- تبيين أن \( a=(\sqrt{5}-1)^2 \):
ننشر الطرف الثاني: \( (\sqrt{5}-1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(1) + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6-2\sqrt{5} \).
وهذا يساوي a. إذن \( a=(\sqrt{5}-1)^2 \).
3) ب- تبسيط c:
\( c=\sqrt{245}-\sqrt{45} = \sqrt{49 \times 5} - \sqrt{9 \times 5} = 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (7-3)\sqrt{5} \)
$$ c=4\sqrt{5} $$
3) ج- تبيين أن الكسر عدد صحيح طبيعي:
\( \frac{c-a}{\sqrt{5}-1} = \frac{4\sqrt{5} - (6-2\sqrt{5})}{\sqrt{5}-1} = \frac{4\sqrt{5}-6+2\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{6\sqrt{5}-6}{\sqrt{5}-1} \)
نأخذ 6 كعامل مشترك في البسط: \( \frac{6(\sqrt{5}-1)}{\sqrt{5}-1} \).
بما أن \( \sqrt{5}-1 \neq 0 \), يمكننا الاختزال:
$$ \frac{c-a}{\sqrt{5}-1} = 6 $$
والعدد 6 هو عدد صحيح طبيعي.