دليل المساعدة لتمارين تبسيط الجذور والحساب

تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات)، وحساب العبارات الجبرية. إليك الشرح:

تمارين في تبسيط الجذور والحساب

محور: الحساب في IR
تمرين

تبسيط عبارات جذرية وحسابات

لتكن العبارة التالية: $A = \sqrt{32} - \sqrt{8} + \frac{1}{3}\sqrt{81}$

  1. بيّن أن $A = 3 + 2\sqrt{2}$.
  2. نعتبر العدد: $B = \sqrt{9} + \sqrt{18} - \sqrt{50}$.
    1. بيّن أن A مقلوب B.
    2. احسب العبارتين $C = |A| - |B|$ و $D = \sqrt{2}A - AB - 3$.
  3. نعتبر العبارتين: $F = 3 + \sqrt{98} - \sqrt{32} - \sqrt{50}$ و $E = -1 + \sqrt{2}(2\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-2)(1+\sqrt{2})$.
    1. بيّن أن $E=A$ و $F=B$.
    2. استنتج اختصارا للعدد $\frac{3}{F} - \frac{4}{E}$.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • لتبسيط الجذور: استخدم القاعدة $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$. فكك الأعداد داخل الجذور إلى جداء عددين أحدهما مربع كامل (مثل 4, 9, 16, 25, 49...). مثال: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2}$.
  • لإثبات أن عددين مقلوبان: بيّن أن حاصل ضربهما يساوي 1. أي، لإثبات أن A مقلوب B، عليك حساب $A \times B$ والتأكد من أن النتيجة هي 1.
  • للجداء المعتبر: تذكر أن $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. هذه القاعدة مفيدة جدا عند ضرب العبارات المترافقة.
  • للقيمة المطلقة: تذكر أن $|x|=x$ إذا كان $x \ge 0$ و $|x|=-x$ إذا كان $x < 0$. عليك أولا تحديد إشارة العدد داخل القيمة المطلقة.
  • للنشر والتبسيط: انشر الأقواس بعناية ثم قم بتجميع الحدود المتشابهة (الأعداد مع الأعداد، والجذور مع الجذور).

📝 طريقة الحل

  1. لتبسيط A:

    فكك كل جذر: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$, و $\sqrt{81}=9$.

    عوض هذه القيم في A وقم بتجميع الحدود المتشابهة.

  2. لتبسيط B وإثبات المقلوب:

    أ) بسّط B أولاً: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ و $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. عوض وجمع الحدود. ثم احسب الجداء $A \times B$ باستخدام الصيغ المبسطة وقاعدة الجداء المعتبر $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

    ب) لحساب C: استعمل الصيغ المبسطة لـ A و B. بما أنهما موجبان، فإن $|A|=A$ و $|B|=B$. لحساب D: عوض قيمة A وقيمة الجداء $AB=1$ التي وجدتها سابقا.

  3. لإثبات تساوي العبارات والاختصار:

    أ) بالنسبة لـ E: انشر $\sqrt{2}(2\sqrt{2}+1)$ ثم انشر $(\sqrt{2}-2)(1+\sqrt{2})$ ثم جمع كل النتائج. بالنسبة لـ F: بسّط كل جذر بنفس طريقة السؤال الأول ثم جمع الحدود.

    ب) بما أن $E=A$ و $F=B$, فإن العبارة تصبح $\frac{3}{B} - \frac{4}{A}$. وبما أن A و B مقلوبان، فإن $\frac{1}{B} = A$ و $\frac{1}{A} = B$. عوض واستخدم الصيغ المبسطة لـ A و B للحصول على النتيجة النهائية.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $A = 3 + 2\sqrt{2}$:

$A = \sqrt{32} - \sqrt{8} + \frac{1}{3}\sqrt{81}$

$A = \sqrt{16 \times 2} - \sqrt{4 \times 2} + \frac{1}{3} \times 9$

$A = 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 3$

$A = (4-2)\sqrt{2} + 3 = 2\sqrt{2} + 3$. إذن، $A = 3 + 2\sqrt{2}$.

2. أ) تبيين أن A مقلوب B:

أولاً، نبسط العبارة B:

$B = \sqrt{9} + \sqrt{18} - \sqrt{50} = 3 + \sqrt{9 \times 2} - \sqrt{25 \times 2}$

$B = 3 + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 3 + (3-5)\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$.

الآن، نحسب الجداء $A \times B$:

$A \times B = (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})$

هذا جداء معتبر من نوع $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$A \times B = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \times 2) = 9 - 8 = 1$.

بما أن $A \times B = 1$، فإن A هو مقلوب B (و B هو مقلوب A).

2. ب) حساب C و D:

حساب C: $C = |A| - |B| = |3 + 2\sqrt{2}| - |3 - 2\sqrt{2}|$.

بما أن $3+2\sqrt{2}$ موجب، فإن $|3+2\sqrt{2}| = 3+2\sqrt{2}$.

ولدينا $3^2=9$ و $(2\sqrt{2})^2=8$. بما أن $9>8$ فإن $3 > 2\sqrt{2}$, وبالتالي $3-2\sqrt{2}$ موجب. إذن $|3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$.

$C = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

حساب D: $D = \sqrt{2}A - AB - 3$.

$D = \sqrt{2}(3+2\sqrt{2}) - 1 - 3 = (3\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2}) - 4 = (3\sqrt{2} + 4) - 4 = 3\sqrt{2}$.

3. أ) تبيين أن $E=A$ و $F=B$:

تبسيط E: $E = -1 + \sqrt{2}(2\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-2)(1+\sqrt{2})$

$E = -1 + (4+\sqrt{2}) - (\sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2})$

$E = -1 + 4 + \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3+2\sqrt{2}$. إذن $E=A$.

تبسيط F: $F = 3 + \sqrt{98} - \sqrt{32} - \sqrt{50}$

$F = 3 + \sqrt{49 \times 2} - \sqrt{16 \times 2} - \sqrt{25 \times 2}$

$F = 3 + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = 3 + (7-4-5)\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$. إذن $F=B$.

3. ب) استنتاج اختصار للعدد $\frac{3}{F} - \frac{4}{E}$:

بما أن $E=A$ و $F=B$, فإن العبارة تصبح $\frac{3}{B} - \frac{4}{A}$.

ومن السؤال 2.أ، نعلم أن A و B مقلوبان، أي $\frac{1}{B}=A$ و $\frac{1}{A}=B$.

إذن: $\frac{3}{B} - \frac{4}{A} = 3 \left(\frac{1}{B}\right) - 4 \left(\frac{1}{A}\right) = 3A - 4B$.

نعوض بقيم A و B:

$3(3+2\sqrt{2}) - 4(3-2\sqrt{2}) = (9+6\sqrt{2}) - (12-8\sqrt{2})$

$= 9+6\sqrt{2} - 12 + 8\sqrt{2} = (9-12) + (6+8)\sqrt{2} = -3 + 14\sqrt{2}$.