تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بحساب القيم العددية، تبسيط العبارات الجبرية، تفكيك العبارات إلى عوامل، وحل المعادلات. إليك الشرح:
نعتبر العبارتين التاليتين: \( A=\sqrt{2}x-\sqrt{6} \) و \( B=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2})+2x-2\sqrt{3} \) حيث x عدد حقيقي.
1) حساب القيمة العددية لـ A:
أ- \( x=\sqrt{3} \implies A = \sqrt{2}(\sqrt{3}) - \sqrt{6} = \sqrt{6} - \sqrt{6} = 0 \)
ب- \( x=0 \implies A = \sqrt{2}(0) - \sqrt{6} = -\sqrt{6} \)
ج- \( x=\sqrt{3}-\sqrt{2} \implies A = \sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) - \sqrt{6} = \sqrt{6} - (\sqrt{2})^2 - \sqrt{6} = -2 \)
2) تبيين أن \( A=\sqrt{2}(x-\sqrt{3}) \):
\( A=\sqrt{2}x-\sqrt{6} \). نلاحظ أن \( \sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3} \).
\( A=\sqrt{2}x-\sqrt{2}\sqrt{3} \). نأخذ \( \sqrt{2} \) كعامل مشترك:
\( A=\sqrt{2}(x-\sqrt{3}) \).
3) أ- تفكيك \( 2x-2\sqrt{3} \):
نأخذ 2 كعامل مشترك: \( 2x-2\sqrt{3} = 2(x-\sqrt{3}) \).
3) ب- استنتاج تفكيك B:
\( B=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2})+2x-2\sqrt{3} \)
نعوض \( 2x-2\sqrt{3} \) بتفكيكها:
\( B=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}) + 2(x-\sqrt{3}) \)
نلاحظ أن \( (x-\sqrt{3}) \) عامل مشترك. نقوم بالتعميل به:
\( B = (x-\sqrt{3})[(x+\sqrt{2})+2] \)
$$ B = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+2) $$
4) أ- تبيين أن \( B-A=(x-\sqrt{3})(x+2) \):
نستخدم الصيغ المفككة لـ A و B:
\( B-A = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+2) - \sqrt{2}(x-\sqrt{3}) \)
نأخذ \( (x-\sqrt{3}) \) كعامل مشترك:
\( B-A = (x-\sqrt{3})[(x+\sqrt{2}+2) - \sqrt{2}] \)
\( B-A = (x-\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+2-\sqrt{2}) \)
$$ B-A = (x-\sqrt{3})(x+2) $$4) ب- إيجاد x بحيث \( B-A=0 \):
يعني \( (x-\sqrt{3})(x+2) = 0 \).
جداء يساوي صفر يعني أن أحد عوامله على الأقل يساوي صفر:
إما \( x-\sqrt{3}=0 \implies x=\sqrt{3} \)
أو \( x+2=0 \implies x=-2 \)
إذن، الحلول هي \( x=\sqrt{3} \) أو \( x=-2 \).