تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات التي تحتوي على الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد، والتعامل مع العبارات الجبرية المعقدة. إليك الشرح:
1) تبسيط العبارة A:
\( A = -3+\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2}) \)
نقوم بالنشر:
\( \sqrt{3}(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3} = 3+\sqrt{3} \)
\( (\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}-(\sqrt{2})^2+2-\sqrt{2} = 2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2} = \sqrt{2} \)
نعوض في العبارة A:
\( A = -3 + (3+\sqrt{3}) - (\sqrt{2}) = -3+3+\sqrt{3}-\sqrt{2} \)
$$ A = \sqrt{3}-\sqrt{2} $$2) تبسيط العبارة B:
\( B = 2\sqrt{27}+\sqrt{50}-5\sqrt{3}-\sqrt{32} \)
نبسط الجذور التربيعية:
\( \sqrt{27}=\sqrt{9 \times 3}=3\sqrt{3} \implies 2\sqrt{27} = 6\sqrt{3} \)
\( \sqrt{50}=\sqrt{25 \times 2}=5\sqrt{2} \)
\( \sqrt{32}=\sqrt{16 \times 2}=4\sqrt{2} \)
نعوض في العبارة B:
\( B = 6\sqrt{3} + 5\sqrt{2} - 5\sqrt{3} - 4\sqrt{2} \)
نجمع الحدود المتشابهة:
\( B = (6\sqrt{3}-5\sqrt{3}) + (5\sqrt{2}-4\sqrt{2}) \)
$$ B = \sqrt{3}+\sqrt{2} $$3) تبيين أن A و B مقلوبان:
لإثبات أن A مقلوب B، يجب أن نبيّن أن جداءهما يساوي 1: \( A \times B = 1 \).
\( A \times B = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \)
هذه جذاءات معتبرة على شكل \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\( A \times B = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1 \)
بما أن \( A \times B = 1 \)، فإن A مقلوب B.
4) تبيين أن العبارة تساوي صفر:
لتكن العبارة \( C = \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}(x+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) \)
نلاحظ أن \( (x+\sqrt{2}) \) عامل مشترك. نقوم بالتعميل:
\( C = (x+\sqrt{2}) \left[ \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \right] \)
من السؤالين 1 و 3، نعلم أن \( \sqrt{3}-\sqrt{2} = A \) و \( \sqrt{3}+\sqrt{2} = B \)، ونعلم أن \( B = \frac{1}{A} \).
إذن، \( \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{1}{A} = B = \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
نعوض هذا في العبارة بين القوسين المربعين:
\( \left[ (\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}+\sqrt{2}) \right] = 0 \)
إذن، العبارة C تصبح:
\( C = (x+\sqrt{2}) \times 0 = 0 \)
هذه النتيجة صحيحة مهما كانت قيمة العدد الحقيقي x.