تتضمن هذه التمارين مفاهيم متقدمة في الجبر تتعلق بتبسيط العبارات الجبرية التي تحتوي على الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد، وحساب العبارات المعقدة. إليك الشرح:
نعتبر العبارتين:
\( a = \sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{2}+4) \)
\( b = \sqrt{50}-\sqrt{18}-(1+\sqrt{2}) \)
4) نعتبر العبارتين:
\( c=2\sqrt{50}-(\sqrt{18}+3\sqrt{8}-1) \)
\( d=\sqrt{2}(1+2\sqrt{2})-\sqrt{25} \)
أ- بيّن أنّ \( c=a \) و \( d=b \).
ب- بيّن أنّ \( \sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}-\sqrt{8} \) هو عدد صحيح طبيعي.
1) تبسيط العبارتين a و b:
بالنسبة لـ a:
\( a = \sqrt{5}(\sqrt{2}+\sqrt{5})-\sqrt{2}(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{2}+4) \)
\( a = \sqrt{10} + 5 - \sqrt{10} + 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - 4 \)
\( a = (\sqrt{10}-\sqrt{10}) + (5-4) + (2\sqrt{2}-\sqrt{2}) = 0 + 1 + \sqrt{2} \)
$$ a = \sqrt{2}+1 $$
بالنسبة لـ b:
\( b = \sqrt{50}-\sqrt{18}-(1+\sqrt{2}) \)
\( b = \sqrt{25 \times 2} - \sqrt{9 \times 2} - 1 - \sqrt{2} \)
\( b = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = (5-3-1)\sqrt{2} - 1 \)
$$ b = \sqrt{2}-1 $$
2) تبيين أن a و b مقلوبان:
لإثبات أن a و b مقلوبان، يجب أن نبيّن أن جداءهما يساوي 1.
\( a \times b = (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) \)
هذه جذاءات معتبرة على شكل \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \):
\( a \times b = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \)
بما أن \( a \times b = 1 \)، فإن a و b مقلوبان.
3) تبيين أن العددين متقابلان:
لإثبات أن \( -2ab \) و \( (a-b) \) متقابلان، يجب أن نبيّن أن مجموعهما يساوي صفر.
أولاً نحسب كل عدد:
\( -2ab = -2(1) = -2 \) (لأن \( ab=1 \) من السؤال السابق).
\( a-b = (\sqrt{2}+1) - (\sqrt{2}-1) = \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1 = 2 \).
الآن نحسب مجموعهما: \( (-2ab) + (a-b) = -2 + 2 = 0 \).
بما أن مجموعهما صفر، فالعددان متقابلان.
4) أ- تبسيط c و d:
بالنسبة لـ c:
\( c = 2\sqrt{50}-(\sqrt{18}+3\sqrt{8}-1) \)
\( c = 2(5\sqrt{2}) - (3\sqrt{2} + 3(2\sqrt{2}) - 1) = 10\sqrt{2} - (3\sqrt{2}+6\sqrt{2}-1) \)
\( c = 10\sqrt{2} - (9\sqrt{2}-1) = 10\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 1 = \sqrt{2}+1 \). إذن \( c=a \).
بالنسبة لـ d:
\( d = \sqrt{2}(1+2\sqrt{2})-\sqrt{25} \)
\( d = \sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2 - 5 = \sqrt{2} + 2(2) - 5 = \sqrt{2} + 4 - 5 \)
\( d = \sqrt{2} - 1 \). إذن \( d=b \).
4) ب- حساب العبارة الأخيرة:
العبارة هي \( \sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}-\sqrt{8} \).
بما أن \( c=a \) و \( d=b \)، وأن a و b مقلوبان (\( b=\frac{1}{a} \) و \( a=\frac{1}{b} \)), يمكننا التبسيط:
\( \frac{1}{c} = \frac{1}{a} = b \)
\( \frac{1}{d} = \frac{1}{b} = a \)
إذن \( \frac{1}{c}+\frac{1}{d} = b+a = (\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2} \).
نعوض في العبارة: \( \sqrt{b+a}-\sqrt{8} = \sqrt{2\sqrt{2}}-\sqrt{8} \).