دليل المساعدة لتمارين التعميل التفاعلية

تتضمن هذه التمارين تحليل التعابير الجبرية باستخدام تقنيات التعميل المختلفة. إليك الشرح لكل نوع من أنواع التعابير:

دليل المساعدة للتعابير الجذرية المتطورة والعلاقات المعقدة

تتضمن هذه التمارين تبسيط التعابير الجبرية المعقدة مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وحساب القيم العددية باستخدام متغيرات. إليك الشرح:

🏆 مستوى خبير - Code 2020

التعابير الجذرية المتطورة والعلاقات المعقدة

دفواراتي
تبسيط التعابير المعقدة متعددة الطبقات
تمرين 1

نعتبر التعابير التالية:

التعابير المعطاة - مستوى متقدم
$a = \sqrt{125} - \sqrt{5} + \sqrt{4} - \sqrt{45}$
$b = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
$C = -\sqrt{5}(1-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{10})$
  1. بيّن أن $a = \sqrt{5} + 2$، $b = \sqrt{5} - 2$، $c = 2 - \sqrt{5}$
  2. احسب: $a \times b$، $a \times c$، $a + b$، $a + c$
  3. أ- بيّن أن $a \times b$ و $a \times c$ عددان متقابلان
  4. ب- بيّن أن $\frac{a+b}{8}$ و $\frac{a+c}{\sqrt{5}}$ عددان مقلوبان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر خبير

تقنيات المستوى المتقدم:

الأدوات الرياضية المتقدمة
تحليل الجذور المعقدة: $\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$، $\sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

ترشيد الكسور: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{c}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})\sqrt{c}}{c}$

التوزيع المعقد: $-\sqrt{5}(1-\sqrt{2}) = -\sqrt{5} + \sqrt{10}$
  • تبسيط a: اجمع الجذور ذات دليل القوة نفسه ($\sqrt{5}$)
  • تبسيط b: رشّد الكسر واستخدم $\sqrt{10} = \sqrt{2 \times 5}$
  • تبسيط C: وزع ثم اجمع الحدود المتشابهة
  • العلاقات: ابحث عن أنماط في النتائج

📝 الطريقة المتقدمة خطوة بخطوة

1) تبسيط العبارة a:

$a = \sqrt{125} - \sqrt{5} + \sqrt{4} - \sqrt{45}$
تحليل الجذور: $\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}$
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$، $\sqrt{4} = 2$
$a = 5\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 - 3\sqrt{5}$
$a = (5-1-3)\sqrt{5} + 2 = \sqrt{5} + 2$

2) تبسيط العبارة b:

$b = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$
ترشيد: $b = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{8})\sqrt{2}}{2}$
$= \frac{\sqrt{20} - \sqrt{16}}{2} = \frac{2\sqrt{5} - 4}{2} = \sqrt{5} - 2$

3) تبسيط العبارة C:

$C = -\sqrt{5}(1-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{10})$
$= -\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{2} + 2 - \sqrt{10}$
$= -\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2 - \sqrt{10}$
$= 2 - \sqrt{5}$

4) حساب العمليات:

$a \times b = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$
$= 5 - 4 = 1$
$a \times c = (\sqrt{5}+2)(2-\sqrt{5})$
$= 2\sqrt{5} - 5 + 4 - 2\sqrt{5} = -1$
$a + b = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2)$
$= 2\sqrt{5}$
$a + c = (\sqrt{5}+2) + (2-\sqrt{5})$
$= 4$

✅ الحل الشامل والبراهين

1) النتائج المثبتة:

التبسيطات النهائية
$a = \sqrt{5} + 2$ ✓
$b = \sqrt{5} - 2$ ✓
$c = 2 - \sqrt{5}$ ✓

2) العمليات الحسابية:

حاصل الضرب:
$a \times b = 1$
$a \times c = -1$
المجاميع:
$a + b = 2\sqrt{5}$
$a + c = 4$
العلاقات:
$a$ و $b$ مقلوبان
$a \times c = -(a \times b)$

3أ) إثبات التقابل:

$a \times b = 1$ و $a \times c = -1$
$(a \times b) + (a \times c) = 1 + (-1) = 0$ ✓
إذن $a \times b$ و $a \times c$ متقابلان

3ب) إثبات العكسية:

$\frac{a+b}{8} = \frac{2\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5}}{4}$
$\frac{a+c}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$
حاصل الضرب: $\frac{\sqrt{5}}{4} \times \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{5}{5} = 1$ ✓
إذن $\frac{a+b}{8}$ و $\frac{a+c}{\sqrt{5}}$ مقلوبان
🏆 تحليل خبير: هذا التمرين يُظهر التماثل الجميل في الجبر - حيث تؤدي العمليات المختلفة على نفس المتغيرات إلى علاقات رياضية أنيقة (تقابل وعكسية).
التعابير المعلمة والقيم العددية
تمرين 2

لتكن العبارة:

التعبير المعلم
$E = \sqrt{5}(x-2) + 2(x-2)$
حيث $x$ عدد حقيقي
  1. بيّن أن $E = a(x-2)$ حيث $a$ من التمرين السابق
  2. استنتج القيمة العددية لـ $E$ في حالة $x = \sqrt{5}$
ملاحظة متقدمة: هذا التمرين يربط بين التعابير الثابتة والمتغيرة، مُظهراً كيف يمكن للنتائج السابقة أن تبسط المسائل الجديدة.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر خبير

استراتيجيات التحليل المتقدم:

  • التحليل بالعامل المشترك: ابحث عن العامل $(x-2)$ في كلا الحدين
  • استخدام النتائج السابقة: من التمرين الأول $a = \sqrt{5} + 2$
  • التعويض الذكي: عوّض $x = \sqrt{5}$ واحسب $(x-2)$
  • التبسيط النهائي: استخدم العلاقات المكتشفة
قاعدة التحليل
إذا كان $E = p \cdot f(x) + q \cdot f(x)$
فإن $E = (p + q) \cdot f(x)$

📝 الطريقة المتقدمة

1) تحليل العبارة E:

$E = \sqrt{5}(x-2) + 2(x-2)$
نلاحظ أن $(x-2)$ عامل مشترك
$E = (x-2)(\sqrt{5} + 2)$
من التمرين السابق: $a = \sqrt{5} + 2$
إذن $E = a(x-2)$ ✓

2) التعويض لـ $x = \sqrt{5}$:

عندما $x = \sqrt{5}$:
$x - 2 = \sqrt{5} - 2$
من التمرين السابق: $b = \sqrt{5} - 2$
إذن $E = a \times b$

3) استخدام النتائج السابقة:

من التمرين الأول: $a \times b = 1$

إذن $E = 1$ عندما $x = \sqrt{5}$

✅ الحل الشامل والتحليل المتقدم

1) إثبات العلاقة:

التحليل النهائي
$E = \sqrt{5}(x-2) + 2(x-2)$
$E = (x-2)(\sqrt{5} + 2)$
$E = a(x-2)$ ✓

2) القيمة العددية:

عندما $x = \sqrt{5}$:
$E = a(x-2) = a(\sqrt{5}-2) = a \times b$
من النتائج السابقة: $a \times b = 1$
إذن $E = 1$
النتيجة النهائية:
$E = (\sqrt{5} + 2)(x - 2)$
وعندما $x = \sqrt{5}$: $E = 1$
🎯 تحليل متقدم: هذا المثال يُظهر قوة الربط بين النتائج السابقة والمسائل الجديدة. العبارة المعلمة $E$ تصبح ثابتة (تساوي 1) عند قيمة خاصة من $x$، مما يكشف عن بنية رياضية عميقة في المسألة.