دليل المساعدة للتعابير الجذرية المتقدمة والعلاقات

تتضمن هذه التمارين تبسيط التعابير الجبرية المعقدة مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وحساب التعابير المعقدة. إليك الشرح:

التعابير الجذرية المتقدمة والعلاقات

دفواراتي
تبسيط التعابير المعقدة
تمرين 1

نعتبر العبارتين:

التعابير المعطاة
$A = (1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1) - \sqrt{18}$

$B = \frac{3}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$
  1. بيّن أن $A = 3 - 2\sqrt{2}$ و $B = 3 + 2\sqrt{2}$
  2. أ- احسب $A \times B$، ماذا تستنتج بالنسبة إلى $A$ و $B$؟
  3. ب- استنتج أن العدد $A$ هو عدد موجب
  4. ج- احسب: $M = |A(B+1)| - |A|$ و $N = A\left[A - \left(\frac{1}{B} + B\right)\right]$
  5. د- أثبت أن $\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) \times 15\sqrt{2}$ عددان صحيحان طبيعيان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التقنيات المطلوبة:

قواعد أساسية
التوزيع: $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

ترشيد المقام: $\frac{1}{a+b\sqrt{c}} = \frac{a-b\sqrt{c}}{a^2-b^2c}$

الهوية المركبة: $(a+b\sqrt{c})(a-b\sqrt{c}) = a^2 - b^2c$
  • تبسيط A: وزع الضرب واجمع الحدود المتشابهة
  • تبسيط B: رشّد كل كسر على حدة
  • تذكر: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
  • العددان المقلوبان: إذا كان $A \times B = 1$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) تبسيط العبارة A:

$A = (1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1) - \sqrt{18}$
نوزع: $(1+\sqrt{2})(2\sqrt{2}-1) = 1 \cdot 2\sqrt{2} + 1 \cdot (-1) + \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot (-1)$
$= 2\sqrt{2} - 1 + 2 \cdot 2 - \sqrt{2}$
$= 2\sqrt{2} - 1 + 4 - \sqrt{2}$
$= \sqrt{2} + 3$
$A = \sqrt{2} + 3 - \sqrt{18} = \sqrt{2} + 3 - 3\sqrt{2} = 3 - 2\sqrt{2}$

2) تبسيط العبارة B:

$B = \frac{3}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1}$
ترشيد الكسر الأول: $\frac{3}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{3(\sqrt{2}+1)}{2-1} = 3(\sqrt{2}+1)$
ترشيد الكسر الثاني: $\frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-1)}{2-1} = (\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-1)$
$= 2 - \sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2 = \sqrt{2}$
$B = 3(\sqrt{2}+1) - \sqrt{2} = 3\sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 3$

3) حساب حاصل الضرب:

$A \times B = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 9 - 4 \times 2 = 9 - 8 = 1$

✅ الحل الكامل

1) النتائج المطلوبة:

النتائج النهائية
$A = 3 - 2\sqrt{2}$ ✓

$B = 3 + 2\sqrt{2}$ ✓

2أ) حاصل الضرب والاستنتاج:

$A \times B = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

الاستنتاج: $A$ و $B$ مقلوبان (حاصل ضربهما = 1)

2ب) إثبات أن A موجب:

بما أن $\sqrt{2} \approx 1.414$، فإن $2\sqrt{2} \approx 2.828 < 3$
إذن $A = 3 - 2\sqrt{2} > 0$ ✓

2ج) حساب M و N:

حساب M:
$M = |A(B+1)| - |A|$
$B+1 = 4+2\sqrt{2} > 0$
$A(B+1) = A + AB = A + 1 > 0$
$M = A(B+1) - A = AB = 1$
حساب N:
$N = A[A - (\frac{1}{B} + B)]$
$\frac{1}{B} = A$ (مقلوبان)
$N = A[A - (A + B)]$
$N = A[A - A - B] = A(-B) = -AB = -1$

2د) الإثبات النهائي:

$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = B + A = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$
$\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) \times 15\sqrt{2} = 6 \times 15\sqrt{2} = 90\sqrt{2}$
ملاحظة: النتيجة $90\sqrt{2}$ ليست عدداً طبيعياً. قد يكون هناك خطأ في نص السؤال الأصلي.
العلاقات بين التعابير المتقدمة
تمرين 2

نعتبر العبارتين التاليتين:

التعابير المعطاة
$D = \sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{9} - \sqrt{32}$

$E = \sqrt{2}(3\sqrt{2}+2) - (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$
  1. بيّن أن $D = A$ و $E = B$
  2. بيّن أن $E$ و $(D-1) - 1$ متقابلان
  3. اختصر العبارة $G = |1-E| - |D + 3\sqrt{2}|$
  4. أثبت أن $\frac{D}{E} + \frac{E}{D}$ عدد صحيح طبيعي
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استراتيجيات الحل:

  • تبسيط الجذور: اربط كل جذر بأبسط شكل ممكن
  • استخدام النتائج السابقة: من التمرين الأول $A = 3-2\sqrt{2}$ و $B = 3+2\sqrt{2}$
  • الهوية المفيدة: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
  • القيمة المطلقة: انتبه لإشارة العبارات داخل القيمة المطلقة
جذور مفيدة
$\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$، $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
$\sqrt{9} = 3$، $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

📝 الطريقة

1) تبسيط العبارة D:

$D = \sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{9} - \sqrt{32}$
$D = 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3 - 4\sqrt{2}$
$D = (7-5-4)\sqrt{2} + 3$
$D = -2\sqrt{2} + 3 = 3 - 2\sqrt{2} = A$ ✓

2) تبسيط العبارة E:

$E = \sqrt{2}(3\sqrt{2}+2) - (\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)$
الجزء الأول: $\sqrt{2}(3\sqrt{2}+2) = 3 \times 2 + 2\sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{2}$
الجزء الثاني: $(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2) = 7 - 4 = 3$
$E = 6 + 2\sqrt{2} - 3 = 3 + 2\sqrt{2} = B$ ✓

3) فحص العلاقة بين E و (D-1)-1:

$(D-1) - 1 = D - 2 = (3-2\sqrt{2}) - 2 = 1 - 2\sqrt{2}$
$E + ((D-1)-1) = (3+2\sqrt{2}) + (1-2\sqrt{2}) = 4 \neq 0$

هذا يشير إلى وجود خطأ في نص السؤال الأصلي.

✅ الحل الكامل

1) إثبات المساواة:

النتائج
$D = 3 - 2\sqrt{2} = A$ ✓

$E = 3 + 2\sqrt{2} = B$ ✓

2) العلاقة بين E و (D-1)-1:

ملاحظة: هناك خطأ محتمل في النص الأصلي. العلاقة الصحيحة قد تكون:
$E$ و $-D$ متقابلان، أو $E$ و $(1-D)$ متقابلان

3) تبسيط العبارة G:

$G = |1-E| - |D + 3\sqrt{2}|$
$1-E = 1-(3+2\sqrt{2}) = -2-2\sqrt{2} < 0$
$|1-E| = 2+2\sqrt{2}$
$D + 3\sqrt{2} = (3-2\sqrt{2}) + 3\sqrt{2} = 3+\sqrt{2} > 0$
$|D + 3\sqrt{2}| = 3+\sqrt{2}$
$G = (2+2\sqrt{2}) - (3+\sqrt{2}) = -1+\sqrt{2}$

4) حساب $\frac{D}{E} + \frac{E}{D}$:

بما أن $D = A$ و $E = B$ و $A \times B = 1$:
$\frac{D}{E} + \frac{E}{D} = \frac{A}{B} + \frac{B}{A}$
$= \frac{A^2 + B^2}{AB} = \frac{A^2 + B^2}{1} = A^2 + B^2$
$A^2 = (3-2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$
$B^2 = (3+2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$
$A^2 + B^2 = (17-12\sqrt{2}) + (17+12\sqrt{2}) = 34$
النتيجة النهائية: $\frac{D}{E} + \frac{E}{D} = 34$ (عدد صحيح طبيعي) ✓