دليل المساعدة للعلاقات بين التعابير الجذرية

تتضمن هذه التمارين تبسيط التعابير الجبرية مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وحساب التعابير المعقدة. إليك الشرح:

العلاقات بين التعابير الجذرية

دفواراتي
العلاقات بين المقلوبات والمتقابلات
تمرين 1

نعتبر التعابير التالية وبيّن العلاقات المطلوبة:

العلاقة المطلوبة التعبير الأول التعبير الثاني
a و b مقلوبان $a = -2\sqrt{63} + \sqrt{28} + \sqrt{7} + 8$ $a(b-1) + \frac{1}{b} = 1$
c و d مقلوبان $c = \sqrt{98} - \sqrt{50} + \sqrt{9} - \sqrt{32}$ $\frac{1}{c} + \frac{1}{d} = \sqrt{32}$
e و f مقلوبان $e = \sqrt{75} - \sqrt{48} + 2$ $\frac{1}{e} + \frac{1}{f} \in \mathbb{N}$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تعريفات مهمة:

العلاقات بين الأعداد
مقلوبان: $x \times y = 1$

متقابلان: $x + y = 0$

متناظران: $|x| = |y|$ مع إشارات مختلفة

خطوات الحل:

  • تبسيط كل تعبير: اجمع الجذور المتشابهة
  • تذكر: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$
  • جذور شائعة: $\sqrt{28} = 2\sqrt{7}$، $\sqrt{63} = 3\sqrt{7}$
  • للتحقق: احسب حاصل الضرب أو المجموع

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) تبسيط التعبير الأول للعلاقة (a,b):

$a = -2\sqrt{63} + \sqrt{28} + \sqrt{7} + 8$
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$
$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$
$a = -2(3\sqrt{7}) + 2\sqrt{7} + \sqrt{7} + 8$
$a = -6\sqrt{7} + 2\sqrt{7} + \sqrt{7} + 8$
$a = -3\sqrt{7} + 8 = 8 - 3\sqrt{7}$

2) استخدام الشرط للعثور على b:

من المعادلة: $a(b-1) + \frac{1}{b} = 1$

إذا كان $a$ و $b$ مقلوبين، فإن $ab = 1$، أي $b = \frac{1}{a}$

3) تبسيط باقي التعابير بنفس الطريقة:

$\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$، $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$، $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

✅ الحل الكامل

العلاقة الأولى (a و b مقلوبان):

$a = 8 - 3\sqrt{7}$
من الشرط: $a(b-1) + \frac{1}{b} = 1$
بما أن $ab = 1$ (مقلوبان)، فإن $b = \frac{1}{a} = \frac{1}{8-3\sqrt{7}}$
ترشيد: $b = \frac{8+3\sqrt{7}}{(8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})} = \frac{8+3\sqrt{7}}{64-63} = 8+3\sqrt{7}$

التحقق: $a \times b = (8-3\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}) = 64 - 9 \times 7 = 64 - 63 = 1$ ✓

العلاقة الثانية (c و d):
$c = 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 3 - 4\sqrt{2}$
$c = 3 - 2\sqrt{2}$
$d = 3 + 2\sqrt{2}$ (مقلوب c)
العلاقة الثالثة (e و f):
$e = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2 = \sqrt{3} + 2$
$f = 2 - \sqrt{3}$ (مقلوب e)
$\frac{1}{e} + \frac{1}{f} = 4 \in \mathbb{N}$ ✓
النتائج النهائية
أ) $a = 8-3\sqrt{7}$، $b = 8+3\sqrt{7}$ (مقلوبان)
ب) $c = 3-2\sqrt{2}$، $d = 3+2\sqrt{2}$ (مقلوبان)
ج) $e = \sqrt{3}+2$، $f = 2-\sqrt{3}$ (مقلوبان)
العلاقات المتقابلة والخاصة
تمرين 2

نعتبر التعابير التالية:

العلاقة المطلوبة التعبير الأول التعبير الثاني
g و h مقلوبان $g = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{2}}$ $h = \sqrt{2} + \sqrt{75} - \sqrt{48}$
i و f متقابلان $i = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ $f = \sqrt{4} + \sqrt{12} - \sqrt{27}$
احسب $\sqrt{\frac{-i}{e}}$ حيث $e = \sqrt{3} + 2$ و $i = \sqrt{3} - 2$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

تقنيات متقدمة:

  • ترشيد الكسور: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$
  • تبسيط الجذور: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$، $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
  • العمل مع الكسور: $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$
  • جذر المقلوب: $\sqrt{\frac{1}{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}}$
جذور مفيدة
$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$، $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$، $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

📝 الطريقة

1) تبسيط g:

$g = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{2}}$
ترشيد: $g = \frac{(\sqrt{6}-2)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{12}-2\sqrt{2}}{2}$
$g = \frac{2\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

2) تبسيط h:

$h = \sqrt{2} + \sqrt{75} - \sqrt{48}$
$h = \sqrt{2} + 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3}$
$h = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

3) التحقق من العلاقة:

$g \times h = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 3 - 2 = 1$ ✓

4) تبسيط i:

$i = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$i = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} - 2 = \sqrt{3} - 2$

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن g و h مقلوبان:

$g = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$h = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
$g \times h = (\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}+\sqrt{3}) = 3 - 2 = 1$ ✓

2) إثبات أن i و f متقابلان:

$i = \sqrt{3} - 2$
$f = 2 + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$
$i + f = (\sqrt{3} - 2) + (2 - \sqrt{3}) = 0$ ✓

3) حساب $\sqrt{\frac{-i}{e}}$:

بما أن $i = \sqrt{3} - 2$ و $e = \sqrt{3} + 2$:

$\frac{-i}{e} = \frac{-({\sqrt{3} - 2})}{\sqrt{3} + 2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}$
ترشيد بضرب البسط والمقام في $(\sqrt{3} - 2)$:
$= \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} = \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{3-4} = \frac{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{-1}$
$= -(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-2) = -(2\sqrt{3} - 4 - 3 + 2\sqrt{3}) = -(4\sqrt{3} - 7) = 7 - 4\sqrt{3}$
لاحظ: $7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$، لذا:
$\sqrt{\frac{-i}{e}} = \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} = |2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$
النتيجة النهائية
$\sqrt{\frac{-i}{e}} = 2 - \sqrt{3}$