دليل المساعدة لتبسيط الجذور التربيعية

تتضمن هذه التمارين تبسيط الجذور التربيعية، العمليات على العبارات الجبرية، وإثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المتقابلات والمقلوبات). إليك الشرح:

تبسيط الجذور التربيعية

دفواراتي
كتابة الجذور في الشكل المبسط
تمرين 1

اكتب على صيغة $a\sqrt{b}$ حيث $a$ و $b$ عددان صحيحان طبيعيان:

$\sqrt{32}$ و $\sqrt{18}$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

قاعدة تبسيط الجذور:

القاعدة الأساسية
$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

خطوات التبسيط:

  • ابحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد تحت الجذر
  • اكتب العدد كضرب مربع كامل × عدد آخر
  • استخرج الجذر التربيعي للمربع الكامل

مربعات كاملة مفيدة: $4 = 2^2$، $9 = 3^2$، $16 = 4^2$، $25 = 5^2$

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) تحليل $\sqrt{32}$:

نبحث عن التحليل إلى عوامل أولية:
$32 = 2^5 = 2^4 \times 2 = 16 \times 2$

بما أن $16 = 4^2$ مربع كامل:

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

2) تحليل $\sqrt{18}$:

نبحث عن التحليل إلى عوامل أولية:
$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$

بما أن $9 = 3^2$ مربع كامل:

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \times \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

✅ الحل الكامل

النتائج النهائية:

الأجوبة
$\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ حيث $a = 4$ و $b = 2$

$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ حيث $a = 3$ و $b = 2$

التحقق:

  • $(4\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32$ ✓
  • $(3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18$ ✓
ملاحظة: في كلا الحالتين، العدد $b = 2$ لا يحتوي على مربع كامل آخر، لذا الشكل مبسط تماماً.
تبسيط العبارات الجذرية المعقدة
تمرين 2

نعتبر العبارات التالية:

$A = 2\sqrt{2} - [1 + \sqrt{2} + (\sqrt{3} - 1)]$
$b = \sqrt{3} - \sqrt{32} + \sqrt{18}$
$C = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
  1. بيّن أن $B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ و $A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
  2. استنتج أن $A$ و $B$ متقابلان
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التقنيات المطلوبة:

  • إزالة الأقواس: انتبه للإشارات عند فتح الأقواس
  • التوزيع: $a(b + c) = ab + ac$
  • تجميع الحدود المتشابهة: $2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
  • العددان المتقابلان: $a$ و $b$ متقابلان إذا كان $a + b = 0$

من التمرين السابق: $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ و $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

📝 الطريقة

1) تبسيط العبارة A:

$A = 2\sqrt{2} - [1 + \sqrt{2} + (\sqrt{3} - 1)]$

نفتح الأقواس خطوة بخطوة:

$A = 2\sqrt{2} - [1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} - 1]$
$A = 2\sqrt{2} - [1 - 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}]$
$A = 2\sqrt{2} - [\sqrt{2} + \sqrt{3}]$
$A = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{3}$
$A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

2) تبسيط العبارة B:

$b = \sqrt{3} - \sqrt{32} + \sqrt{18}$

نستخدم النتائج من التمرين الأول:

$B = \sqrt{3} - 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$
$B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

✅ الحل الكامل

1) النتائج المطلوبة:

النتائج النهائية
$A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$

$B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

2) إثبات أن A و B متقابلان:

نحسب $A + B$:

$A + B = (\sqrt{2} - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$A + B = \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$A + B = 0$

النتيجة: بما أن $A + B = 0$، فإن $A$ و $B$ متقابلان.

يمكننا كتابة: $B = -A$ أو $A = -B$ ✓

تحقق إضافي: $A = \sqrt{2} - \sqrt{3}$ و $B = \sqrt{3} - \sqrt{2} = -(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -A$
العمليات على الجذور
تمرين 3
  1. بيّن أن $C = \sqrt{2} + \sqrt{3}$
  2. احسب $B \times C$، ماذا تستنتج؟
  3. احسب إذن: $B \times C - \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$
تذكير: من التمرين السابق $B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ و العبارة:
$C = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المتطابقات المفيدة:

متطابقات هامة
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

$(\sqrt{a})^2 = a$ (إذا كان $a \geq 0$)
  • ترشيد المقام: لحساب $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$، نضرب بـ $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
  • ضرب الجذور: $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$
  • العددان المرافقان: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ و $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$

📝 الطريقة

1) تبسيط العبارة C:

$C = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$

نوزع كل حد:

$C = \sqrt{2} \times 1 + \sqrt{2} \times \sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{2} + \sqrt{3} \times 1$
$C = \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{3}$
$C = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

2) حساب $B \times C$:

$B = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ و $C = \sqrt{2} + \sqrt{3}$

نلاحظ أنهما مرافقان، لذا:

$B \times C = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن $C = \sqrt{2} + \sqrt{3}$:

$C = \sqrt{2}(1 + \sqrt{3}) - \sqrt{3}(\sqrt{2} - 1)$
$C = \sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{3}$
$C = \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{3}$
$C = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ ✓

2) حساب $B \times C$:

$B \times C = (\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{2} + \sqrt{3})$
$= (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

الاستنتاج: $B$ و $C$ مقلوبان (حاصل ضربهما = 1)

إذن: $\frac{1}{B} = C$ و $\frac{1}{C} = B$

3) الحساب النهائي:

$B \times C - \frac{1}{B} + \frac{1}{C}$
$= 1 - C + B$
$= 1 - (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$= 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$= 1 - 2\sqrt{2}$
النتيجة النهائية
$B \times C - \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 1 - 2\sqrt{2}$