تتضمن هذه التمارين تبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، حل المعادلات، وإثبات العلاقات بين الأعداد. إليك الشرح:
نعتبر العبارة التالية حيث x عدد حقيقي: \( E = (\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3}) + 3\sqrt{3} + 3x \)
1) تبسيط E:
ننشر الجزء الأول: \( (\sqrt{3}x+3)(x-2\sqrt{3}) = \sqrt{3}x^2 - \sqrt{3}x(2\sqrt{3}) + 3x - 3(2\sqrt{3}) = \sqrt{3}x^2 - 6x + 3x - 6\sqrt{3} = \sqrt{3}x^2 - 3x - 6\sqrt{3} \).
نعوض في E: \( E = \sqrt{3}x^2 - 3x - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 3x = \sqrt{3}x^2 - 3\sqrt{3} \).
نأخذ \( \sqrt{3} \) كعامل مشترك: \( E = \sqrt{3}(x^2 - 3) = \sqrt{3}(x^2 - (\sqrt{3})^2) \).
باستخدام الجذاءات المعتبرة \( a^2-b^2=(a-b)(a+b) \):
$$ E = \sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) $$2) أ- حل المعادلة E=0:
\( \sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}) = 0 \). جداء يساوي صفر يعني أن أحد عوامله يساوي صفر.
إما \( x+\sqrt{3}=0 \implies x=-\sqrt{3} \), أو \( x-\sqrt{3}=0 \implies x=\sqrt{3} \).
الحلول هي: \( \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} \).
2) ب- حل المعادلة بالقيمة المطلقة:
نعوض E بعبارتها المبسطة: \( \left|\frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{3}(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\right|=|x-\sqrt{3}| \)
\( |(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})|=|x-\sqrt{3}| \implies |x+\sqrt{3}| \cdot |x-\sqrt{3}|=|x-\sqrt{3}| \)
إما \( |x-\sqrt{3}|=0 \), وهذا يعني \( x=\sqrt{3} \).
أو إذا كان \( x \neq \sqrt{3} \), يمكننا القسمة على \( |x-\sqrt{3}| \): \( |x+\sqrt{3}|=1 \).
هذا يعني \( x+\sqrt{3}=1 \) أو \( x+\sqrt{3}=-1 \).
\( x=1-\sqrt{3} \) أو \( x=-1-\sqrt{3} \).
مجموعة الحلول هي: \( \{\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}\} \).
نعتبر العبارتين التاليتين حيث x عدد حقيقي:
\( A=2(\frac{3}{2}-\sqrt{3})-[\sqrt{4}-|\sqrt{8}-2|]-(1-\sqrt{12}) \)
\( B=\sqrt{8}(2-2\sqrt{2})-(x-\sqrt{32})(-1+\sqrt{2}) \)
1) تبسيط A و B:
A: \( \sqrt{8}=2\sqrt{2} \approx 2.82 \). إذن \( \sqrt{8}-2>0 \) و \( |\sqrt{8}-2|=\sqrt{8}-2 \).
\( A = 3-2\sqrt{3} - [2-(\sqrt{8}-2)] - (1-2\sqrt{3}) = 3-2\sqrt{3} - [4-\sqrt{8}] - 1+2\sqrt{3} \)
\( A = 3-2\sqrt{3} - 4 + \sqrt{8} - 1 + 2\sqrt{3} = (3-4-1) + (-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}) + \sqrt{8} = -2 + 2\sqrt{2} \).
B: \( \sqrt{32}=4\sqrt{2} \).
\( B = 2\sqrt{2}(2-2\sqrt{2}) - (x-4\sqrt{2})(-1+\sqrt{2}) = (4\sqrt{2}-8) - (-x+\sqrt{2}x+4\sqrt{2}-8) \)
\( B = 4\sqrt{2}-8 + x - \sqrt{2}x - 4\sqrt{2} + 8 = x - \sqrt{2}x = x(1-\sqrt{2}) \).
2) أ- حساب A-B:
\( A-B = (2\sqrt{2}-2) - (1-\sqrt{2})x \).
نبسط الطرف الثاني: \( (\sqrt{2}-1)(2+x) = 2\sqrt{2}+\sqrt{2}x-2-x = (2\sqrt{2}-2) - (x-\sqrt{2}x) = (2\sqrt{2}-2) - x(1-\sqrt{2}) \).
وهو يساوي A-B.
2) ب- استنتاج x:
A=B يعني A-B=0. إذن \( (\sqrt{2}-1)(2+x)=0 \).
بما أن \( \sqrt{2}-1 \neq 0 \), يجب أن يكون \( 2+x=0 \), أي \( x=-2 \).
3) حساب A-B:
نعوض x في \( A-B=(\sqrt{2}-1)(2+x) \):
\( A-B = (\sqrt{2}-1)(2+(-1+\sqrt{2})) = (\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2-1^2 = 2-1=1 \).
4) إيجاد x:
\( A=B+2\sqrt{2}-2 \implies A-B = 2\sqrt{2}-2 = 2(\sqrt{2}-1) \).
\( (\sqrt{2}-1)(2+x) = 2(\sqrt{2}-1) \).
بالقسمة على \( (\sqrt{2}-1) \), نجد \( 2+x=2 \), إذن \( x=0 \).