دليل المساعدة لتمارين الجبر والحساب

تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وحل المعادلات. إليك الشرح:

تمارين في الجبر والحساب

محور: الحساب في IR
تمرين

تبسيط عبارات وحل معادلات

نعتبر العبارتين: $a = -2\sqrt{50}-\left[\frac{3}{2}-(\sqrt{200}-x)\right]-\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|$ حيث $x \in \mathbb{R}$

و $b = \sqrt{3}\left(\sqrt{12}-\frac{5}{3}\sqrt{6}\right)-\sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{2}-4\right)$

  1. بيّن أن: $a=\sqrt{2}-3-x$ و أن: $b=3-\sqrt{2}$.
  2. احسب القيمة العددية للعبارة $a$ في حالة $x=\frac{1}{2}-3\sqrt{2}$.
  3. جد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن العددين $a$ و $b(1-\sqrt{2})$ متقابلان.
    1. بيّن أن العددين $\sqrt{2}-b$ و $3+2\sqrt{2}$ مقلوبان.
    2. استنتج حسابا للعبارة $c = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2}$.

لم تبدأ بعد

💡 مؤشر للحل

  • لتبسيط الجذور: بسّط الجذور الكبيرة أولاً: $\sqrt{50}$, $\sqrt{200}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{6}$.
  • للقيمة المطلقة: لمعرفة $|\frac{3}{2}-\sqrt{2}|$, قارن بين $\frac{3}{2}$ و $\sqrt{2}$ عن طريق مقارنة مربعيهما.
  • انتبه للأقواس والإشارات: عند إزالة الأقواس المسبوقة بإشارة سالب، لا تنس تغيير إشارة كل الحدود بداخلها.
  • متقابلان: عددان $Y$ و $Z$ متقابلان يعني أن $Y+Z=0$.
  • مقلوبان: عددان $Y$ و $Z$ مقلوبان يعني أن $Y \times Z=1$.

📝 طريقة الحل

  1. لتبسيط a:
    1. احسب $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ و $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$.
    2. حدد إشارة $\frac{3}{2}-\sqrt{2}$ لإزالة القيمة المطلقة. $(\frac{3}{2})^2=2.25$ و $(\sqrt{2})^2=2$, إذن $\frac{3}{2}>\sqrt{2}$.
    3. عوض القيم المبسطة في العبارة $a$ وانشر الأقواس بحذر.
  2. لتبسيط b: انشر القوس الأول $\sqrt{3}(\dots)$ ثم القوس الثاني $\sqrt{2}(\dots)$ ثم اجمع النتائج.
  3. للسؤال 2: عوض قيمة $x$ المعطاة في الصيغة المبسطة لـ $a$.
  4. للسؤال 3:
    1. اكتب المعادلة: $a + b(1-\sqrt{2}) = 0$.
    2. عوض الصيغ المبسطة لـ $a$ و $b$ في المعادلة.
    3. حل المعادلة الناتجة لإيجاد $x$.
  5. للسؤال 4:
    1. احسب $\sqrt{2}-b$ أولاً.
    2. اضرب الناتج في $3+2\sqrt{2}$ وتحقق إذا كان الجداء يساوي 1.
    1. استخدم نتيجة السؤال 4(أ). لاحظ أن $\frac{2}{3+2\sqrt{2}} = 2 \times \frac{1}{3+2\sqrt{2}}$.
    2. استبدل $\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$ بما يساويه من السؤال السابق.
    3. عوض في العبارة $c$ وبسط.

✅ الحل الكامل والمفصل

1. تبيين أن $a=\sqrt{2}-3-x$ و $b=3-\sqrt{2}$:

تبسيط a: $a = -2\sqrt{50}-\left[\frac{3}{2}-(\sqrt{200}-x)\right]-\left|\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right|$

لدينا $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$ و $\sqrt{200}=10\sqrt{2}$. ولدينا $(\frac{3}{2})^2=2.25$ و $(\sqrt{2})^2=2$. بما أن $2.25 > 2$ فإن $\frac{3}{2} > \sqrt{2}$, إذن $|\frac{3}{2}-\sqrt{2}| = \frac{3}{2}-\sqrt{2}$.

$a = -2(5\sqrt{2}) - \left[\frac{3}{2} - 10\sqrt{2} + x\right] - \left(\frac{3}{2}-\sqrt{2}\right)$

$a = -10\sqrt{2} - \frac{3}{2} + 10\sqrt{2} - x - \frac{3}{2} + \sqrt{2}$

$a = (-10\sqrt{2}+10\sqrt{2}+\sqrt{2}) + (-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}) - x$

$a = \sqrt{2} - \frac{6}{2} - x = \sqrt{2}-3-x$.

تبسيط b: $b = \sqrt{3}\left(\sqrt{12}-\frac{5}{3}\sqrt{6}\right)-\sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{2}-4\right)$

$b = (\sqrt{36} - \frac{5}{3}\sqrt{18}) - ( \frac{3}{2}(\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{2} )$

$b = (6 - \frac{5}{3}(3\sqrt{2})) - (3-4\sqrt{2}) = (6-5\sqrt{2}) - 3 + 4\sqrt{2}$

$b = 6-5\sqrt{2}-3+4\sqrt{2} = (6-3) + (-5+4)\sqrt{2} = 3-\sqrt{2}$.

2. حساب قيمة a:

نعوض $x=\frac{1}{2}-3\sqrt{2}$ في $a=\sqrt{2}-3-x$

$a = \sqrt{2}-3 - \left(\frac{1}{2}-3\sqrt{2}\right) = \sqrt{2}-3-\frac{1}{2}+3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \frac{7}{2}$.

3. إيجاد x إذا كان a و $b(1-\sqrt{2})$ متقابلان:

متقابلان يعني أن مجموعهما صفر: $a + b(1-\sqrt{2})=0$.

$(\sqrt{2}-3-x) + (3-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=0$

$\sqrt{2}-3-x + (3-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2) = 0$

$\sqrt{2}-3-x + 5-4\sqrt{2} = 0$

$2 - 3\sqrt{2} - x = 0 \implies x = 2-3\sqrt{2}$.

4. أ) تبيين أن $\sqrt{2}-b$ و $3+2\sqrt{2}$ مقلوبان:

ملاحظة: حسب النص المعطى، سنثبت أن جداء العددين يساوي -1 وليس 1. هذا يعني أنهما ليسا مقلوبين تماما، بل أحدهما هو مقلوب مقابل الآخر.

أولاً، نحسب $\sqrt{2}-b = \sqrt{2}-(3-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}-3$.

ثانياً، نحسب الجداء: $(\sqrt{2}-b)(3+2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2}-3)(2\sqrt{2}+3)$.

هذا جداء معتبر: $(2\sqrt{2})^2 - 3^2 = 8-9 = -1$.

بما أن الجداء يساوي -1، فهما ليسا مقلوبين. (إذا كان السؤال يقصد `b-√2` فالجداء سيكون 1).

4. ب) استنتاج حساب c:

$c = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2}$

من السؤال السابق، بما أن $(\sqrt{2}-b)(3+2\sqrt{2})=-1$ فإن $\frac{1}{3+2\sqrt{2}} = -(\sqrt{2}-b) = b-\sqrt{2}$.

نعوض هذا في عبارة c:

$c = 2(b-\sqrt{2}) - b + \sqrt{2} = 2b - 2\sqrt{2} - b + \sqrt{2} = b - \sqrt{2}$.

نعوض قيمة b: $c = (3-\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 3-2\sqrt{2}$.