تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات)، وحساب العبارات الجبرية المعقدة. إليك الشرح:
نعتبر العددين الحقيقيين: \( a=2\sqrt{50}-2\sqrt{72}+\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) و \( b=3+\sqrt{75}-\sqrt{48} \).
1) تبسيط a و b:
a: \( a=2\sqrt{25 \cdot 2}-2\sqrt{36 \cdot 2}+\sqrt{\frac{18}{2}} = 2(5\sqrt{2})-2(6\sqrt{2})+\sqrt{9} = 10\sqrt{2}-12\sqrt{2}+3 = -2\sqrt{2}+3 \)
b: \( b=3+\sqrt{25 \cdot 3}-\sqrt{16 \cdot 3} = 3+5\sqrt{3}-4\sqrt{3} = 3+\sqrt{3} \)
2) تبيين أن \( a=(1-\sqrt{2})^2 \):
\( (1-\sqrt{2})^2 = 1^2 - 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 1-2\sqrt{2}+2 = 3-2\sqrt{2} \). إذن \( a=(1-\sqrt{2})^2 \).
3) هل d و b مقلوبان؟
نحسب جداءهما: \( d \times b = (3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9-3=6 \).
بما أن جداءهما لا يساوي 1، فهما ليسا مقلوبان.
4) أ- تبيين أن a و c مقلوبان:
\( a \times c = (3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9-8=1 \).
نعم، a و c مقلوبان.
4) ب- استنتاج حساب:
العبارة المطلوبة غير مرتبطة مباشرة بالأسئلة السابقة. سنحسبها مباشرة.
\( \frac{2+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{2(1+\sqrt{3})}{c} \). لا يمكن تبسيطها أكثر باستخدام المعطيات.
4) ج- قابلية القسمة على 15:
العدد هو \( \frac{85}{a}+\frac{85}{c} = 85(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}) \).
بما أن a و c مقلوبان، فإن \( \frac{1}{a}=c \) و \( \frac{1}{c}=a \).
إذن العدد هو \( 85(c+a) = 85((3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})) = 85(6) = 510 \).
بما أن 510 ينتهي بـ0، فهو يقبل القسمة على 5. مجموع أرقامه 5+1+0=6، فهو يقبل القسمة على 3.
إذن 510 يقبل القسمة على 15.
4) د- تبيين أن العدد صحيح طبيعي:
العدد هو \( \sqrt{\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2} \).
بما أن c مقلوب a، فإن \( \frac{1}{c}=a \). إذن \( \frac{a}{c} = a \cdot \frac{1}{c} = a \cdot a = a^2 \).
بالمثل، \( \frac{c}{a} = c \cdot \frac{1}{a} = c \cdot c = c^2 \).
العبارة تصبح \( \sqrt{a^2+c^2+2} \).
لكن \( a^2+c^2+2ac = (a+c)^2 \). هل \( 2=2ac \)؟ نعم لأن \( ac=1 \).
إذن العبارة هي \( \sqrt{(a+c)^2} = |a+c| \).
حسبنا سابقاً \( a+c=6 \). بما أن 6 موجب، فإن \( |a+c|=6 \).
والعدد 6 هو عدد صحيح طبيعي.