تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، حساب الجداءات والمجاميع، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات)، وتبسيط العبارات الجبرية. إليك الشرح:
نعتبر العبارات التالية:
\( a = \frac{3}{2}\sqrt{20} - \frac{5}{6}\sqrt{45} + \frac{1}{2} \)
\( b = \frac{5-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} \)
\( c = (3-\sqrt{5})^2 \)
1) تبسيط العبارات a, b, c:
a: \( a = \frac{3}{2}\sqrt{4 \cdot 5} - \frac{5}{6}\sqrt{9 \cdot 5} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}(2\sqrt{5}) - \frac{5}{6}(3\sqrt{5}) + \frac{1}{2} = 3\sqrt{5} - \frac{5}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} \)
\( a = (\frac{6}{2}-\frac{5}{2})\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{5} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \).
b: \( b = \frac{5-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{(5-\sqrt{5})\sqrt{5}}{2\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}-5}{2(5)} = \frac{5(\sqrt{5}-1)}{10} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \).
c: \( c = (3-\sqrt{5})^2 = 3^2 - 2(3)(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14-6\sqrt{5} \).
2) تبيين أن a مقلوب b:
نحسب الجداء \( a \times b \):
\( a \times b = \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4} = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4}=1 \).
بما أن \( a \times b = 1 \)، فإن a مقلوب b.
3) استنتاج:
بما أن a مقلوب b، فإن \( \frac{1}{b} = a \). إذن \( \frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b} = a \times a = a^2 \).
نعوض في الطرف الأيسر للمعادلة:
\( (\frac{a}{b}+a)(\frac{a}{b}-b) = (a^2+a)(a^2-b) \).
بما أن \( b = \frac{1}{a} \), تصبح العبارة: \( (a^2+a)(a^2-\frac{1}{a}) \).
\( = a^2(a^2) - a^2(\frac{1}{a}) + a(a^2) - a(\frac{1}{a}) = a^4 - a + a^3 - 1 = a^4+a^3-a-1 \). وهو المطلوب.
4) اختصار العبارة M:
\( M=\sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{(2-x)^2} \)
من السؤال الأول، نعلم أن \( c=14-6\sqrt{5} \) و أن \( c=(3-\sqrt{5})^2 \).
إذن \( \sqrt{14-6\sqrt{5}} = \sqrt{(3-\sqrt{5})^2} = |3-\sqrt{5}| \). بما أن \( 3=\sqrt{9} > \sqrt{5} \)، فإن \( 3-\sqrt{5} > 0 \).
وبالتالي \( |3-\sqrt{5}| = 3-\sqrt{5} \).
بالنسبة للحد الثاني، \( \sqrt{(2-x)^2} = |2-x| \).
نعلم أن x عدد حقيقي سالب. إذن \( -x \) موجب. و \( 2-x = 2+(-x) \) هو مجموع عددين موجبين، فهو موجب.
وبالتالي \( |2-x| = 2-x \).
إذن، \( M = (3-\sqrt{5}) + (2-x) = 3-\sqrt{5}+2-x \).
$$ M = 5 - \sqrt{5} - x $$