تتضمن هذه التمارين مفاهيم الجبر المتعلقة بتبسيط العبارات الجبرية مع الجذور التربيعية، حساب الجداءات والمجاميع، إثبات العلاقات بين الأعداد (مثل المقلوبات والمتقابلات)، وتبسيط العبارات الجبرية. إليك الشرح:
نعتبر العبارات التالية:
\( a = \sqrt{125} - \sqrt{5} + \sqrt{4} - \sqrt{45} \)
\( b = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{8}}{\sqrt{2}} \)
\( c = -\sqrt{5}(1-\sqrt{2})+(2-\sqrt{10}) \)
1) تبسيط العبارات a, b, c:
a: \( a = \sqrt{25 \cdot 5} - \sqrt{5} + 2 - \sqrt{9 \cdot 5} = 5\sqrt{5} - \sqrt{5} + 2 - 3\sqrt{5} = (5-1-3)\sqrt{5} + 2 = \sqrt{5}+2 \)
b: \( b = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} - \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5}-2 \)
c: \( c = -\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{2} + 2 - \sqrt{10} = -\sqrt{5} + \sqrt{10} + 2 - \sqrt{10} = 2-\sqrt{5} \)
2) حساب الجداءات والمجاميع:
\( a \times b = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4 = 1 \)
\( a \times c = (\sqrt{5}+2)(2-\sqrt{5}) = -(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) = -1 \)
\( a+b = (\sqrt{5}+2) + (\sqrt{5}-2) = 2\sqrt{5} \)
\( a+c = (\sqrt{5}+2) + (2-\sqrt{5}) = 4 \)
3) أ- متقابلان:
وجدنا أن \( a \times b = 1 \) و \( a \times c = -1 \). بما أن مجموعهما \( 1+(-1)=0 \)، فهما عددان متقابلان.
3) ب- مقلوبان:
نحسب العددين:
\( \frac{a+b}{8} = \frac{2\sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{5}}{4} \)
\( \frac{a+c}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \).
نحسب جداءهما: \( \frac{\sqrt{5}}{4} \times \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{4 \times (\sqrt{5})^2}{4 \times 5} = \frac{4 \times 5}{20} = \frac{20}{20} = 1 \).
بما أن جداءهما يساوي 1، فهما عددان مقلوبان.
4) تبسيط العبارة E:
\( E = \sqrt{5}(x-2)+2(x-2) \)
نلاحظ أن \( (x-2) \) عامل مشترك. نقوم بالتعميل:
\( E = (\sqrt{5}+2)(x-2) \)
بما أن \( a = \sqrt{5}+2 \)، فإن \( E = a(x-2) \).
5) استنتاج قيمة E:
نعوض \( x = \sqrt{5} \) في العبارة المبسطة لـ E:
\( E = a(x-2) = (\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2) \)
هذا هو بالضبط الجداء \( a \times b \) الذي حسبناه في السؤال 2.
$$ E = 1 $$