الحل الكامل

1) أ- تبسيط العبارة a:

\( a = 2 + \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{3}) - 3(\sqrt{2} - 1) \)

نقوم بالنشر:

\( a = 2 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sqrt{3} - 3\sqrt{2} + 3 \)

\( a = 2 + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - 3\sqrt{2} + 3 \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( a = (2+3) + (3\sqrt{2} - 3\sqrt{2}) - 2\sqrt{6} \)

$$ a = 5 - 2\sqrt{6} $$

---

1) ب- تبسيط العبارة b:

\( b = 5 - 4\sqrt{6} + 2\sqrt{384} - \sqrt{600} \)

نبسط الجذور التربيعية:

\( \sqrt{384} = \sqrt{64 \times 6} = \sqrt{8^2 \times 6} = 8\sqrt{6} \)

\( \sqrt{600} = \sqrt{100 \times 6} = \sqrt{10^2 \times 6} = 10\sqrt{6} \)

نعوض في العبارة b:

\( b = 5 - 4\sqrt{6} + 2(8\sqrt{6}) - 10\sqrt{6} \)

\( b = 5 - 4\sqrt{6} + 16\sqrt{6} - 10\sqrt{6} \)

\( b = 5 + (-4 + 16 - 10)\sqrt{6} = 5 + (2)\sqrt{6} \)

$$ b = 5 + 2\sqrt{6} $$

---

1) ج- تبيين أن a و b مقلوبان:

لإثبات أن a و b مقلوبان، يجب أن نبيّن أن جداءهما يساوي 1: \( a \times b = 1 \).

\( a \times b = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6}) \)

هذه جذاءات معتبرة على شكل \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):

\( a \times b = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \times 6) = 25 - 24 = 1 \)

بما أن \( a \times b = 1 \)، فإن a و b مقلوبان.

---

2) تبيين أن c عدد صحيح طبيعي:

\( c = 2\sqrt{6} + \frac{2000}{5 - 2\sqrt{6}} + \frac{2001}{5 + 2\sqrt{6}} \)

من السؤال السابق، نعلم أن \( 5 - 2\sqrt{6} = a \) و \( 5 + 2\sqrt{6} = b \). ونعلم أن b هو مقلوب a، أي \( b = \frac{1}{a} \).

إذن \( 5 + 2\sqrt{6} = \frac{1}{5 - 2\sqrt{6}} \). يمكننا استخدام هذه المعلومة لتوحيد المقامات.

لنتخلص من الجذور في المقامات باستخدام المرافق:

\( \frac{2000}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{2000(5 + 2\sqrt{6})}{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})} = \frac{2000(5 + 2\sqrt{6})}{1} = 10000 + 4000\sqrt{6} \)

\( \frac{2001}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{2001(5 - 2\sqrt{6})}{(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})} = \frac{2001(5 - 2\sqrt{6})}{1} = 10005 - 4002\sqrt{6} \)

نعوض هذه النتائج في عبارة c:

\( c = 2\sqrt{6} + (10000 + 4000\sqrt{6}) + (10005 - 4002\sqrt{6}) \)

نجمع الحدود المتشابهة:

\( c = (10000 + 10005) + (2\sqrt{6} + 4000\sqrt{6} - 4002\sqrt{6}) \)

\( c = 20005 + (2 + 4000 - 4002)\sqrt{6} = 20005 + (0)\sqrt{6} \)

$$ c = 20005 $$

العدد 20005 هو عدد صحيح طبيعي.