التمرين عدد 1

متوسط

اختر الإجابة أو الإجابات الصحيحة من بين الاقتراحات (*1)

إعداد الأستاذ: دفواراتي	$\frac{5}{3-\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$	المدرسة الإعدادية النموذجية صفاقس الجهرة
$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$	$\frac{5}{3-\sqrt{5}}$	$\frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$	مقلوب العدد $\left(\frac{1}{\sqrt{5}}-1\right)$ هو:
سالب	موجب	هو عدد حقيقي	*2) العدد $\left(\sqrt{5}-3\right)\left(-2+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{5}-3\right)$
$\frac{\sqrt{48}}{3\sqrt{3}}$	$\frac{8}{3}$	$\frac{4}{3}$	*3) العدد $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)^2$ يساوي:
$P' = \frac{1}{3}P$	$P' = \frac{1}{2}P$	$P' = \frac{1}{4}P$	*4) نعتبر الشكل التالي: إذا كان $P$ هو محيط المثلث $ABC$ و $P'$ هو محيط المثلث $EFG$ فإن:

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

1

السؤال الأول - مقلوب العدد:

$$\text{العدد} = \frac{1}{\sqrt{5}}-1 = \frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$$

المقلوب:

$$\frac{1}{\frac{1-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} = \frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$$

تبسيط بالمرافق:

$$= \frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}} \times \frac{1+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$$ $$= \frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})}{1-5}$$ $$= \frac{\sqrt{5}+5}{-4}$$ $$= -\frac{5+\sqrt{5}}{4}$$

الإجابة الصحيحة: $\frac{\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$ (قبل التبسيط)

2

السؤال الثاني:

$$(\sqrt{5}-3)(-2+\sqrt{5})(\sqrt{5}-3)$$ $$= (\sqrt{5}-3)^2 \times (-2+\sqrt{5})$$

حساب $(\sqrt{5}-3)^2$:

$$(\sqrt{5}-3)^2 = 5 - 6\sqrt{5} + 9 = 14 - 6\sqrt{5}$$

الضرب في $(-2+\sqrt{5})$:

$$= (14 - 6\sqrt{5})(-2+\sqrt{5})$$ $$= -28 + 14\sqrt{5} + 12\sqrt{5} - 6 \times 5$$ $$= -28 + 26\sqrt{5} - 30$$ $$= -58 + 26\sqrt{5}$$

بما أن $\sqrt{5} \approx 2.236$، فإن $26\sqrt{5} \approx 58.1$

إذن: $-58 + 58.1 \approx 0.1 > 0$ (موجب)

3

السؤال الثالث:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right)^2$$ $$= \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 2 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$ $$= \frac{1}{3} - 2 + 3$$ $$= \frac{1}{3} + 1$$ $$= \frac{4}{3}$$

4

السؤال الرابع - نسبة المحيطات:

من الشكل، يبدو أن $DEF$ هو المثلث الأوسط في شكل يشبه مثلث سيربنسكي

إذا كانت أضلاع $DEF$ تساوي نصف أضلاع $ABC$:

$$P' = \frac{1}{2}P$$

2

التمرين عدد 2

صعب

نعتبر العبارة: $M = 6x - 42 - (x-7)(3d+4x)$ حيث $x \in \mathbb{R}$

1*) بين أن $M = 3(2-x)(2+x)$

2*) أ) احسب القيمة العددية للعبارة $M$ إذا علمت أن $x = 5\sqrt{2}$

ب) استنتج مقلوب العدد $5\sqrt{2} + 7$

ج) احسب إذاً، إذن العبارة $\frac{B}{5\sqrt{2}+7}+\sqrt{2}$ حيث $$B = \frac{5\sqrt{2}+7}{\sqrt{2}}$$

3*) أوجد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن $\sqrt{(3-x)^2} = \sqrt{6}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

1

السؤال الأول - تفكيك $M$:

$$M = 6x - 42 - (x-7)(3d+4x)$$

⚠️ يبدو أن هناك خطأ مطبعي: $d$ بدلاً من رقم. سأفترض أنه $3$ أو $-3$

إذا افترضنا $M = 6x - 42 - (x-7)(3+4x)$:

$$= 6x - 42 - (3x + 4x^2 - 21 - 28x)$$ $$= 6x - 42 - 3x - 4x^2 + 21 + 28x$$ $$= -4x^2 + 31x - 21$$

للوصول إلى $3(2-x)(2+x) = 3(4-x^2) = 12 - 3x^2$

يحتاج إلى مراجعة الصيغة الأصلية

2

السؤال الثاني - حساب $M$ عند $x = 5\sqrt{2}$:

إذا كان $M = 3(2-x)(2+x) = 3(4-x^2)$:

$$M = 3(4 - (5\sqrt{2})^2)$$ $$= 3(4 - 25 \times 2)$$ $$= 3(4 - 50)$$ $$= 3 \times (-46)$$ $$= -138$$

3

إيجاد المقلوب:

إذا كان $M = 3(2-x)(2+x)$ و $x = 5\sqrt{2}$:

$$M = 3(2-5\sqrt{2})(2+5\sqrt{2})$$

لإيجاد مقلوب $5\sqrt{2}+7$، نحتاج إلى علاقة مع $M$

4

السؤال الثالث - حل المعادلة:

$$\sqrt{(3-x)^2} = \sqrt{6}$$ $$|3-x| = \sqrt{6}$$

الحالة 1: $3-x = \sqrt{6}$

$$x = 3 - \sqrt{6}$$

الحالة 2: $3-x = -\sqrt{6}$

$$x = 3 + \sqrt{6}$$

3

التمرين عدد 3

صعب

نعتبر العددين التاليين:

$$a = \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}}$$ $$b = \left(\sqrt{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(3\sqrt{2}-2\right) + \sqrt{2} - 6$$

1*) بين أن: $a = 9 + 6\sqrt{2}$ و $b = 3 - 2\sqrt{2}$

2*) احسب ثم قم استنتج مقلوب $b$

3*) استنتج حساباً للعبارة: $E = 3b^3 + ab^2$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

1

حساب $a$:

$$a = \frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} - \frac{1}{1-\sqrt{2}}$$

الكسر الأول:

$$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \times \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{1-2}$$ $$= \frac{\sqrt{2}-2}{-1} = 2-\sqrt{2}$$

الكسر الثاني:

$$\frac{1}{1-\sqrt{2}} \times \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2}$$ $$= \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$$

الجمع:

$$a = (2-\sqrt{2}) - (-1-\sqrt{2})$$ $$= 2-\sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}$$ $$= 3$$

⚠️ النتيجة $3$ وليس $9+6\sqrt{2}$ - يحتاج التحقق من السؤال

2

حساب $b$:

$$b = \left(\sqrt{8} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)(3\sqrt{2}-2) + \sqrt{2} - 6$$

تبسيط القوس الأول:

$$\sqrt{8} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

الضرب:

$$\frac{3\sqrt{2}}{2}(3\sqrt{2}-2) = \frac{3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \times 2}{2}$$ $$= \frac{9 \times 2 - 6\sqrt{2}}{2} = \frac{18 - 6\sqrt{2}}{2}$$ $$= 9 - 3\sqrt{2}$$

الجمع:

$$b = 9 - 3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 6$$ $$= 3 - 2\sqrt{2}$$

3

السؤال الثاني - حساب $ab$:

إذا كان $a = 3$ (وليس $9+6\sqrt{2}$):

$$ab = 3(3-2\sqrt{2}) = 9 - 6\sqrt{2}$$

إذا كان $a = 9+6\sqrt{2}$:

$$ab = (9+6\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$$ $$= 27 - 18\sqrt{2} + 18\sqrt{2} - 12 \times 2$$ $$= 27 - 24 = 3$$

إذا كان $ab = 3$، فإن $b = \frac{3}{a}$ (مقلوب $a$)

4

السؤال الثالث - حساب $E$:

$$E = 3b^3 + ab^2 = b^2(3b + a)$$

نحسب $b^2$:

$$b^2 = (3-2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$$

إذا كان $a = 3$:

$$3b + a = 3(3-2\sqrt{2}) + 3 = 9 - 6\sqrt{2} + 3 = 12 - 6\sqrt{2}$$ $$E = (17-12\sqrt{2})(12-6\sqrt{2})$$

4

التمرين عدد 4 - الأعداد الحقيقية

صعب جداً

$$c = \sqrt{9+4\sqrt{5}} + \sqrt{\frac{a+3}{16(b+4)}}$$ $$b = \frac{2}{\sqrt{5}-2} - \frac{1}{\sqrt{5}+2} + \sqrt{45}-1$$ $$a = \sqrt{\frac{32}{2} - \left(\frac{\sqrt{18}-\sqrt{40}}{2\sqrt{2}}\right)}$$

$$A = 4a + 3b \quad ; \quad B = 4a - 3b$$

1) أثبت أن $b = 5 + 4\sqrt{5}$ و $a = 6 - 4\sqrt{5}$

ب) استنتج أن $A = 39 - 4\sqrt{5}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

1

حساب $b$:

$$b = \frac{2}{\sqrt{5}-2} - \frac{1}{\sqrt{5}+2} + \sqrt{45} - 1$$

الكسر الأول:

$$\frac{2}{\sqrt{5}-2} \times \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{2(\sqrt{5}+2)}{5-4} = 2\sqrt{5}+4$$

الكسر الثاني:

$$\frac{1}{\sqrt{5}+2} \times \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}-2} = \frac{\sqrt{5}-2}{5-4} = \sqrt{5}-2$$

الجمع:

$$b = (2\sqrt{5}+4) - (\sqrt{5}-2) + 3\sqrt{5} - 1$$ $$= 2\sqrt{5} + 4 - \sqrt{5} + 2 + 3\sqrt{5} - 1$$ $$= 4\sqrt{5} + 5$$ $$= 5 + 4\sqrt{5}$$ ✅

2

حساب $a$:

$$a = \sqrt{\frac{32}{2} - \left(\frac{\sqrt{18}-\sqrt{40}}{2\sqrt{2}}\right)}$$

تبسيط داخل القوس:

$$\frac{\sqrt{18}-\sqrt{40}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - 2\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}$$ $$= \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} - \frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{2}}$$ $$= \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$$ $$= \frac{3}{2} - \sqrt{5}$$

الحساب الكامل:

$$a = \sqrt{16 - \left(\frac{3}{2} - \sqrt{5}\right)}$$ $$= \sqrt{16 - \frac{3}{2} + \sqrt{5}}$$ $$= \sqrt{\frac{32-3}{2} + \sqrt{5}}$$ $$= \sqrt{\frac{29}{2} + \sqrt{5}}$$

الحساب معقد - يحتاج للتحقق من الخطوات

3

حساب $A$:

إذا كان $a = 6-4\sqrt{5}$ و $b = 5+4\sqrt{5}$:

$$A = 4a + 3b$$ $$= 4(6-4\sqrt{5}) + 3(5+4\sqrt{5})$$ $$= 24 - 16\sqrt{5} + 15 + 12\sqrt{5}$$ $$= 39 - 4\sqrt{5}$$ ✅

5

التمرين عدد 5 (تابع)

متوسط - هندسة

2) أ) أذكر واختصر العبارة $(2+\sqrt{5})^2$

ب) استنتج كتابة العدد $B$ في صيغة جذاء عوامل

ج) اختصر العبارة $B$

3) بين أن $x+y$ و $x-y$ مقلوبان

ج) استنتج حساباً لـ $ab$

4) بين أن $c$ هو عدد كسري نسبي

5) أوجد العدد الحقيقي $x$ بحيث $\sqrt{(x+2\sqrt{5})^2} + 2 = \sqrt{5}$

التمرين عدد 5:

ليكن $(O;I)$ معيناً متعامداً للمستوى بحيث $OI = OJ$ و $(2;0)A$ و $(6;6)B$

1*) أنكر النقطة $C$ المسقط العمودي للنقطة $B$ على المحور $(OI)$

أوجد إحداثيات النقطة $C$ وعلل جوابك

ب- [text continues but is cut off in image]

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

🎯 دليل الامتحان - الصفحات 234-235

📋 معلومات عن الامتحان

🔍 كيفية استخدام الصفحة

📝 المفاهيم الأساسية

التمرين عدد 1

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - مقلوب العدد:

السؤال الثاني:

السؤال الثالث:

السؤال الرابع - نسبة المحيطات:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

السؤال (3):

السؤال (4):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 2

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - تفكيك $M$:

السؤال الثاني - حساب $M$ عند $x = 5\sqrt{2}$:

إيجاد المقلوب:

السؤال الثالث - حل المعادلة:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2أ):

السؤال (3):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 3

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

حساب $a$:

حساب $b$:

السؤال الثاني - حساب $ab$:

السؤال الثالث - حساب $E$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

السؤال (3):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 4 - الأعداد الحقيقية

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

حساب $b$:

حساب $a$:

حساب $A$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (ب):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 5 (تابع)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال (2أ):

السؤال (5) - المسقط العمودي:

حل المعادلة:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (2أ):

السؤال (5-1):

السؤال (5-5):

🎯 المفاهيم المستخدمة: