📐 فرض مراقبة عدد 2 - الثانية إعدادي (تابع) 📏

الأعداد الحقيقية والهندسة - الصفحة 230

🎓 إعدادي ثانوي 📊 التمارين: 4 📄 الصفحة: 2

التمرين عدد 1 (3 نقاط)

متوسط

اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المعطاة:

$a = 3$	$a = 1$	$a = 5$
$\sqrt{2}-1$	$1-\sqrt{2}$	$1+\sqrt{2}$	*1)** العدد $\frac{45}{m^2}$ يقبل القسمة على 12 إذا $m$ يساوي:
$\frac{5}{\sqrt{12}}$	$0$	$\frac{13}{12}$	*2)** العدد $(1+\sqrt{2})^{2018} \times (1-\sqrt{2})^{2017}$ يساوي: $\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{7}{4}}=\sqrt{\frac{7}{3}-\frac{7}{4}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\sqrt{12}$	$\sqrt{8}$	*3)** إذا كان $ABCD$ شبه منحرف قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ حيث $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[BC]$ و $DC = \sqrt{48}$ و $IJ = \sqrt{27}$ فإن $AB$ يساوي:

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول:

نبحث عن $m$ بحيث $\frac{45}{m^2}$ يقبل القسمة على 12

عند $m = 1$:

$$\frac{45}{1} = 45 \quad \text{و} \quad \frac{45}{12} = 3.75 \quad \text{(ليس صحيحاً)}$$

عند $m = 3$:

$$\frac{45}{9} = 5 \quad \text{و} \quad \frac{5}{12} \quad \text{(ليس صحيحاً)}$$

عند $m = 5$:

$$\frac{45}{25} = \frac{9}{5} \quad \text{(ليس صحيحاً)}$$

يبدو أن هناك خطأ في فهم السؤال. ربما المقصود هو أن $\frac{45m^2}{...}$ أو شيء آخر

السؤال الثاني:

$$(1+\sqrt{2})^{2018} \times (1-\sqrt{2})^{2017}$$ $$= (1+\sqrt{2}) \times [(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})]^{2017}$$ $$= (1+\sqrt{2}) \times [1-2]^{2017}$$ $$= (1+\sqrt{2}) \times (-1)^{2017}$$ $$= (1+\sqrt{2}) \times (-1)$$ $$= -1-\sqrt{2}$$ $$= -(1+\sqrt{2})$$

نقارن مع الخيارات المعطاة...

السؤال الثالث:

في شبه المنحرف $ABCD$، إذا كان $I$ منتصف $[AD]$ و $J$ منتصف $[BC]$

فإن: $IJ = \frac{AB + CD}{2}$

نبسط الأعداد المعطاة:

$$DC = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$$ $$IJ = \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$$

نطبق الصيغة:

$$3\sqrt{3} = \frac{AB + 4\sqrt{3}}{2}$$ $$6\sqrt{3} = AB + 4\sqrt{3}$$ $$AB = 2\sqrt{3}$$

التمرين عدد 2

صعب

نعتبر العبارة: $A = 3x^2 - x\sqrt{3} - 2$ حيث $x \in \mathbb{R}$

1) احسب القيمة العددية للعبارة $A$ إذا كان $x = (\sqrt{3})^{-1}$

2) أ. أذكر $\left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2$

ب. بين أن $A + \frac{1}{4} = \left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2$

ج. استنتج أن $A = \left(x\sqrt{3}+1\right)\left(x\sqrt{3}-2\right)$

3) حل المعادلة الحقيقية $x$ في حالة $A = 2 - x\sqrt{3}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - حساب $A$ عند $x = (\sqrt{3})^{-1}$:

$$x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ $$A = 3x^2 - x\sqrt{3} - 2$$ $$= 3 \times \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \times \sqrt{3} - 2$$ $$= 1 - \frac{3}{3} - 2$$ $$= 1 - 1 - 2$$ $$= -2$$

السؤال الثاني (أ) - تذكر المطابقة:

$$\left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2$$ $$= (x\sqrt{3})^2 - 2 \times x\sqrt{3} \times \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2$$ $$= 3x^2 - x\sqrt{3} + \frac{1}{4}$$

السؤال الثاني (ب) - إثبات:

$$A + \frac{1}{4} = 3x^2 - x\sqrt{3} - 2 + \frac{1}{4}$$ $$= 3x^2 - x\sqrt{3} - \frac{8}{4} + \frac{1}{4}$$ $$= 3x^2 - x\sqrt{3} - \frac{7}{4}$$

⚠️ هناك خطأ: الطرف الأيمن $3x^2 - x\sqrt{3} + \frac{1}{4}$ لا يساوي $3x^2 - x\sqrt{3} - \frac{7}{4}$

التصحيح: يجب أن يكون:

$$A = 3x^2 - x\sqrt{3} - 2 = \left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} - 2$$ $$= \left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$$

السؤال الثاني (ج) - التفكيك:

نستخدم $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$A = \left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$$ $$= \left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\right)\left(x\sqrt{3}-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\right)$$ $$= \left(x\sqrt{3} - 2\right)\left(x\sqrt{3} + 1\right)$$

السؤال الثالث - حل $A = 2 - x\sqrt{3}$:

$$\left(x\sqrt{3} - 2\right)\left(x\sqrt{3} + 1\right) = 2 - x\sqrt{3}$$ $$\left(x\sqrt{3} - 2\right)\left(x\sqrt{3} + 1\right) = -\left(x\sqrt{3} - 2\right)$$

الحالة 1: $x\sqrt{3} - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

الحالة 2: إذا كان $x\sqrt{3} - 2 \neq 0$

$$x\sqrt{3} + 1 = -1$$ $$x\sqrt{3} = -2$$ $$x = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}$$

التمرين عدد 3

صعب

1) نعتبر العددين $a$ و $b$ بحيث:

$$a = \sqrt{216} - 2\sqrt{24} + \sqrt{\frac{70}{4}} \times 2\sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{32}$$ $$b = \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{3}-2\right)$$

بين أن $b = \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $a = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

2) بين أن العدد $b$ مقلوب العدد $a$

3) نعتبر العدد $c$ بحيث $c = \frac{8-5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$، بين أن $c = \sqrt{3} - 2$

4) بين أن $\sqrt{ab}$ و $c$ مقلوبان

5) بين أن $c^2 = -2c - \frac{3\sqrt{2}}{a}$

6) نعتبر العددين:

$$e = (1 + \sqrt{2})^5 \text{ و } \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^5 + (-\sqrt{2})^5$$

1*) احسب العدد $e$ ثم بين أن $f = 5 - 2\sqrt{2}$

2*) بين أن $ef - 1 = 2e$

3*) استنتج أن $(2e+1)(e^{-1} + f^{-1})$ عدد صحيح طبيعي.

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

حساب $a$:

$$a = \sqrt{216} - 2\sqrt{24} + \sqrt{\frac{70}{4}} \times 2\sqrt{\frac{7}{5}} - \sqrt{32}$$

تبسيط كل حد:

$$\sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6}$$ $$2\sqrt{24} = 2\sqrt{4 \times 6} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$$ $$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$$ $$\sqrt{\frac{70}{4}} \times 2\sqrt{\frac{7}{5}} = \frac{\sqrt{70}}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$$ $$= \sqrt{70} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{70 \times 7}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{490}}{\sqrt{5}}$$ $$= \frac{\sqrt{49 \times 10}}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{10} \times \sqrt{5}}{5} = \frac{7\sqrt{50}}{5}$$ $$= \frac{7 \times 5\sqrt{2}}{5} = 7\sqrt{2}$$

الجمع:

$$a = 6\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$$ $$= 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$$

حساب $b$:

$$b = \left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{3}-2\right)$$

الضرب الأول:

$$\left(\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right)\left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$ $$= \frac{3}{4} - \frac{3}{2 \times \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ $$= \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3}$$

الحد الثاني:

$$-\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3}-2) = -\frac{3}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{4} = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$

الجمع:

$$b = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$= \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}$$

إثبات أن $a$ و $b$ مقلوبان:

$$a \times b = (2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}) \times \left(\frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$= 2\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{6}}{3} - 2\sqrt{6} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}}{3} - 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$= \frac{2 \times 6}{3} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - \frac{3 \times 2}{2}$$ $$= 4 - 3 = 1$$

✅ إذن $a$ و $b$ مقلوبان

تبسيط $c$:

$$c = \frac{8-5\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}$$

نضرب بالمرافق:

$$= \frac{(8-5\sqrt{3})(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)}$$ $$= \frac{16\sqrt{3} + 8 - 10 \times 3 - 5\sqrt{3}}{12 - 1}$$ $$= \frac{16\sqrt{3} - 5\sqrt{3} + 8 - 30}{11}$$ $$= \frac{11\sqrt{3} - 22}{11} = \sqrt{3} - 2$$

التمرين عدد 4

متوسط - هندسة

لرسم مثلثاً: $AM = 4$ و $MN = 2$ و $AN = 3$

ليكن $B$ نقطة والمستقيم $\parallel$ للمستقيم $N$ و $C$ نقطة والمستقيم $\parallel$ للمستقيم $M$

1) أثبت أن $(BC) \parallel (MN)$ واحسب $BC$

2) نعتبر النقطة $E$ من $[AM]$ بحيث $\frac{AE}{2} = EM$

أ. بين أن $AE = \frac{2}{3}AM$

ب. المستقيم الموازي $\parallel (MN)$ والقاطع في $A$ يقطع المستقيم القادم من $E$ الذي يقطع $(NE)$ في $P$ بين أن: $$\frac{EN}{EP} = \frac{MN}{AP} = \frac{1}{2}$$

ج. استنتج أن $\triangle APCB$ متوازي أضلاع

3*) المستقيم الموازي $\parallel E$ والقاطع في $K$ يقطع $(MN)$، بين أن $(AB)$ $$\frac{NB}{NK} = 3$$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - إثبات $(BC) \parallel (MN)$:

المعطيات:

$B$ على مستقيم موازٍ لـ $N$
$C$ على مستقيم موازٍ لـ $M$

وفقاً لنظرية: إذا كان خطان متوازيان لخط ثالث، فهما متوازيان لبعضهما

إذن: $(BC) \parallel (MN)$

حساب $BC$:

بتطبيق نظرية طاليس:

$$\frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN}$$

نحتاج لمعرفة قيم $AB$ و $AC$ لحساب $BC$

السؤال الثاني (أ):

المعطى: $\frac{AE}{2} = EM$

إذن: $AE = 2 \times EM$

ولكن: $AM = AE + EM$

$$4 = AE + \frac{AE}{2}$$ $$4 = \frac{3AE}{2}$$ $$AE = \frac{8}{3}$$

وبالتالي:

$$\frac{AE}{AM} = \frac{8/3}{4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

السؤال الثاني (ب):

بتطبيق نظرية طاليس على المستقيمات الموازية:

إذا كان المستقيم المار بـ $E$ موازٍ لـ $MN$، فإن:

$$\frac{AE}{AM} = \frac{AP}{?} = \frac{EN}{?}$$

نحتاج لتحديد الأطوال بدقة من الرسم

دليل المساعدة لتمارين الجبر

🎯 دليل الامتحان - الصفحة 2

📋 معلومات عن الامتحان

🔍 كيفية استخدام الصفحة

📝 المفاهيم الأساسية

التمرين عدد 1 (3 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول:

السؤال الثاني:

السؤال الثالث:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

السؤال (3):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 2

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - حساب $A$ عند $x = (\sqrt{3})^{-1}$:

السؤال الثاني (أ) - تذكر المطابقة:

السؤال الثاني (ب) - إثبات:

السؤال الثاني (ج) - التفكيك:

السؤال الثالث - حل $A = 2 - x\sqrt{3}$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2أ):

السؤال (2ج):

السؤال (3):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 3

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

حساب $a$:

حساب $b$:

إثبات أن $a$ و $b$ مقلوبان:

تبسيط $c$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

السؤال (3):

السؤال (4):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين عدد 4

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول - إثبات $(BC) \parallel (MN)$:

السؤال الثاني (أ):

السؤال الثاني (ب):

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2أ):

السؤال (2ب):

🎯 المفاهيم المستخدمة: