📐 فرض مراقبة عدد 2 - الثانية إعدادي 📏

الأعداد الحقيقية وصفات الجذور - مثال رقم 22

🎓 إعدادي ثانوي ⏱ المدة: 45 دقيقة 📊 التمارين: 3

التمرين رقم 1 (2 نقاط)

متوسط

اختر الجواب الصحيح من بين الإجابات التالية مع التعليل:

(1) إذا $a$ و $b$ عددين متطابقان و $b$ عدد حقيقي سالب، فالعدد:

أ) $M(\sqrt{3-a};a)$ ب) $(a)$ ج) $(0)$

(2) مقلوب العدد $\sqrt{5}-1$ هو العدد:

أ) $\frac{\sqrt{5}+1}{16}$ ب) $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$ ج) $\frac{1}{\sqrt{5}+1}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

صعب

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16} \quad \text{و} \quad a = \sqrt{32} - 6 + (2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$$

(1) أ) اكتب $b$ في صيغة $c + d\sqrt{2}$ حيث $c$ و $d$ عددان حقيقيان

(ب) اكتب $\sqrt{32}-6$ في صيغة جداء عوامل

(ج) بين أن $a = 4 - 3\sqrt{2}$ وأن $b = -4 - 3\sqrt{2}$

(2) أ) بين أن $-2ab = 1$

(ب) اختصر العبارة $\left(2a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{a}+b\right)$

(ج) احسب مع تبرير الإجابة: $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال (1أ) - حساب $b$:

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$ $$= \sqrt{49 \times 2} - 2\sqrt{25 \times 2} - 4$$ $$= 7\sqrt{2} - 2 \times 5\sqrt{2} - 4$$ $$= 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$ $$= -3\sqrt{2} - 4$$ $$= -4 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (1ب) - تفكيك $\sqrt{32}-6$:

$$\sqrt{32} - 6 = \sqrt{16 \times 2} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$$ $$= 2(2\sqrt{2} - 3)$$

السؤال (1ج) - حساب $a$:

أولاً: $\sqrt{32} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$

ثانياً: نضرب $(2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$

$$= 2 \times 3 + 2 \times (-2\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}) \times 3 + (-\sqrt{2}) \times (-2\sqrt{2})$$ $$= 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2 \times 2$$ $$= 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4$$ $$= 10 - 7\sqrt{2}$$

النتيجة:

$$a = (4\sqrt{2} - 6) + (10 - 7\sqrt{2})$$ $$= 4\sqrt{2} - 6 + 10 - 7\sqrt{2}$$ $$= 4 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (2أ) - حساب $-2ab$:

$$-2ab = -2(4 - 3\sqrt{2})(-4 - 3\sqrt{2})$$ $$= 2(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$$ $$= 2[4^2 - (3\sqrt{2})^2]$$ $$= 2[16 - 9 \times 2]$$ $$= 2[16 - 18]$$ $$= 2(-2) = -4$$

⚠️ ملاحظة: النتيجة $-4$ وليس $1$، لذا قد يكون هناك خطأ في نص السؤال

لكن إذا حسبنا $ab$:

$$ab = (4 - 3\sqrt{2})(-4 - 3\sqrt{2}) = -(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2}) = -[16-18] = 2$$

إذن $a$ و $b$ ليسا مقلوبين بالضبط، ولكن $ab = 2$

السؤال (2ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

أولاً: نحدد إشارة $a$ و $b$

$a = 4 - 3\sqrt{2} \approx 4 - 4.24 \approx -0.24 < 0$

$b = -4 - 3\sqrt{2} < 0$

إذن:

$$\sqrt{a^2} = |a| = -a = -(4 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4$$ $$\sqrt{b^2} = |b| = -b = -(-4 - 3\sqrt{2}) = 4 + 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = (3\sqrt{2} - 4) - (4 + 3\sqrt{2})$$ $$= 3\sqrt{2} - 4 - 4 - 3\sqrt{2}$$ $$= -8$$

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1أ) - حساب $b$:

$$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$ $$= 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$ $$= -4 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (1ب) - تفكيك:

$$\sqrt{32} - 6 = 4\sqrt{2} - 6 = 2(2\sqrt{2} - 3)$$

السؤال (1ج) - حساب $a$:

$$(2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 10 - 7\sqrt{2}$$ $$a = (4\sqrt{2} - 6) + (10 - 7\sqrt{2}) = 4 - 3\sqrt{2}$$

السؤال (2أ) - حساب $-2ab$:

$$ab = (4 - 3\sqrt{2})(-4 - 3\sqrt{2}) = 2$$ $$-2ab = -4$$

ملاحظة: إذا كان السؤال يطلب إثبات أن $a$ و $-\frac{b}{2}$ مقلوبان، فهذا صحيح

السؤال (2ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

التبرير: بما أن $a < 0$ و $b < 0$:

$$\sqrt{a^2} = |a| = -a = 3\sqrt{2} - 4$$ $$\sqrt{b^2} = |b| = -b = 4 + 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = (3\sqrt{2} - 4) - (4 + 3\sqrt{2}) = -8$$

🎯 المفاهيم المستخدمة:

تبسيط الجذور واستخراج العوامل المربعة
ضرب المقادير الجذرية
المطابقات الهامة: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
القيمة المطلقة: $\sqrt{x^2} = |x|$

التمرين رقم 3 (7 نقاط)

صعب

نعتبر العبارتين التاليتين حيث $x$ عدد حقيقي:

$$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$$

$$B = 3\sqrt{2}x - 9$$

(1) أ) فكك إلى جداء عوامل: $2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$

(ب) استنتج تفكيك $A$ إلى جداء عوامل

(ج) بين أن: $(x\sqrt{2} - 3)A = \sqrt{2}B(3x+1)$

(2) احسب القيمة العددية للعبارة $A+B$ عندما يكون $x = \sqrt{2}$

(3) أ) حدد قيم $x$ التي تحقق المعادلة $A = B$

(ب) حل في مجموعة الأعداد الحقيقية المعادلة: $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$

ابدأ بالتوجيهات للتفكير! 🎯

📝 منهجية الحل:

السؤال (1أ) - التفكيك:

$$2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$$ $$= 2x \times 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= 6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$ $$= 2\sqrt{2}(3x + 1)$$

السؤال (1ب) - تفكيك $A$:

$$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$$ $$= (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x + 1)$$ $$= (3x+1)[(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}]$$ $$= (3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$

السؤال (1ج) - إثبات العلاقة:

$$A = (3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$

نحسب الطرف الأيسر:

$$(x\sqrt{2} - 3)A = (x\sqrt{2} - 3)(3x+1)(2x - 3\sqrt{2})$$

نلاحظ أن: $2x - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 3)$

$$= (x\sqrt{2} - 3)(3x+1) \times \sqrt{2}(\sqrt{2}x - 3)$$ $$= \sqrt{2}(3x+1)(\sqrt{2}x - 3)^2$$

ونحسب الطرف الأيمن:

$$\sqrt{2}B(3x+1) = \sqrt{2}(3\sqrt{2}x - 9)(3x+1)$$ $$= \sqrt{2} \times 3(\sqrt{2}x - 3)(3x+1)$$

السؤال (2) - حساب $A+B$ عند $x = \sqrt{2}$:

$$A = (3\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2} - 3\sqrt{2})$$ $$= (3\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2})$$ $$= -3 \times 2 - \sqrt{2}$$ $$= -6 - \sqrt{2}$$ $$B = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 9 = 6 - 9 = -3$$ $$A + B = -6 - \sqrt{2} - 3 = -9 - \sqrt{2}$$

السؤال (3أ) - حل $A=B$:

$$A = B$$ $$(3x+1)(2x - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}x - 9$$ $$6x^2 - 9\sqrt{2}x + 2x - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}x - 9$$ $$6x^2 - 9\sqrt{2}x + 2x - 3\sqrt{2}x + 3\sqrt{2} - 9 = 0$$ $$6x^2 + (2 - 12\sqrt{2})x + (3\sqrt{2} - 9) = 0$$

حل هذه المعادلة بالقانون العام...

السؤال (3ب) - حل $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$:

$$\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$$

نربع الطرفين:

$$x^2 + 2 = (3\sqrt{2})^2$$ $$x^2 + 2 = 9 \times 2$$ $$x^2 + 2 = 18$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$

🎯 دليل الامتحان

📋 معلومات عن الامتحان

🔍 كيفية استخدام الصفحة

📝 المفاهيم الأساسية

التمرين رقم 1 (2 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال الأول:

السؤال الثاني:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1):

السؤال (2):

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين رقم 2 (6 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال (1أ) - حساب $b$:

السؤال (1ب) - تفكيك $\sqrt{32}-6$:

السؤال (1ج) - حساب $a$:

السؤال (2أ) - حساب $-2ab$:

السؤال (2ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1أ) - حساب $b$:

السؤال (1ب) - تفكيك:

السؤال (1ج) - حساب $a$:

السؤال (2أ) - حساب $-2ab$:

السؤال (2ج) - حساب $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$:

🎯 المفاهيم المستخدمة:

التمرين رقم 3 (7 نقاط)

💡 توجيهات للتفكير:

📝 منهجية الحل:

السؤال (1أ) - التفكيك:

السؤال (1ب) - تفكيك $A$:

السؤال (1ج) - إثبات العلاقة:

السؤال (2) - حساب $A+B$ عند $x = \sqrt{2}$:

السؤال (3أ) - حل $A=B$:

السؤال (3ب) - حل $\sqrt{x^2 + 2} = 3\sqrt{2}$:

✅ الحل النهائي والإجابات:

السؤال (1أ) - التفكيك:

السؤال (1ب) - تفكيك $A$:

السؤال (2) - القيمة عند $x = \sqrt{2}$:

السؤال (3ب) - حل المعادلة:

🎯 المفاهيم المستخدمة: