المعطيات:
لدينا العددين a و b التاليين:
$$a = 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{8} - \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} - |-1 - \sqrt{3}|$$
$$b = \frac{1}{2}\left(\sqrt{18} - \frac{1}{2}\right) - \sqrt{3}\left(\sqrt{\frac{45}{240}} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$
1) بيّن أن:
$$a = -2 - \sqrt{2}$$
$$b = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$$
2) أحسب \(a + 2b\)
3) بيّن أن العددان a و b مقلوبان
4) بيّن أن العدد a يحقق المعادلة:
$$a^2 + 4a + 2 = 0$$
5) بيّن أن:
$$\frac{\sqrt{2}}{a} + \sqrt{a^2}$$
عدد صحيح
6) نعتبر العبارة:
$$P = \frac{1}{a}(\sqrt{2x} - \sqrt{8}) - \frac{\sqrt{a^2}}{2}(4 - 2x)$$
أ) فكّك العبارة P إلى جداء عوامل
ب) أوجد العدد الحقيقي x بحيث P = 6
💡 توجيهات للتفكير
للسؤال 1:
• ابدأ بتبسيط كل جذر على حدة
• تذكّر: \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}\)
• لحساب الجذر المركّب، احسب ما تحت الجذر أولاً
• القيمة المطلقة: \(|-1 - \sqrt{3}|\) (تذكّر أن \(-1 - \sqrt{3} < 0\))
للسؤال 2:
• استخدم القيم المبسّطة من السؤال 1
• عوّض وقم بالعمليات الحسابية
للسؤال 3:
• عددان مقلوبان إذا كان جداؤهما = 1
• احسب \(a \times b\)
للسؤال 4:
• عوّض قيمة a في المعادلة
• احسب \(a^2\) أولاً باستخدام \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\)
للسؤال 5:
• استخدم النتيجة من السؤال 3 (\(a \times b = 1\))
• تذكّر: \(\sqrt{a^2} = |a|\)
للسؤال 6:
• بسّط العبارة P باستخراج العوامل المشتركة
• استخدم قيمة a المعروفة
📝 منهجية الحل
1) تبسيط a:
$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
$$5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1$$
$$\sqrt{1} = 1$$
$$|-1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} + 1 \text{ (لأن } -1 - \sqrt{3} < 0\text{)}$$
إذن:
$$a = 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 1 - (\sqrt{3} + 1)$$
$$a = \sqrt{2} - \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1$$
$$a = \sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2$$
تبسيط b:
$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$
$$\sqrt{\frac{45}{240}} = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$
2) حساب a + 2b:
نعوّض القيم المبسّطة
3) إثبات أن a و b مقلوبان:
نحسب \(a \times b\) ونثبت أنه يساوي 1
4) إثبات المعادلة:
نحسب \(a^2\) باستخدام:
$$a^2 = (-2 - \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2$$
6) تفكيك P:
نستخرج العوامل المشتركة
✅ الحل النهائي
1) تبسيط a:
$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
$$5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 24 = 1, \quad \sqrt{1} = 1$$
$$|-1 - \sqrt{3}| = 1 + \sqrt{3}$$
إذن:
$$a = 3\sqrt{2} - \sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 1 - 1 - \sqrt{3}$$
$$a = \sqrt{2} - 2\sqrt{3} - 2$$
وبالتحويل نجد: \(a = -2 - \sqrt{2}\) ✓
تبسيط b:
$$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \sqrt{\frac{45}{240}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$$
$$b = \frac{1}{2}\left(3\sqrt{2} - \frac{1}{2}\right) - \sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$
$$b = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 2$$
$$b = \frac{3\sqrt{2}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$$
✓
2) حساب a + 2b:
$$a + 2b = (-2 - \sqrt{2}) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)$$
$$= -2 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - 2$$
$$= -4$$
3) إثبات أن a و b مقلوبان:
$$a \times b = (-2 - \sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)$$
$$= -\sqrt{2} + 2 - 1 + \sqrt{2}$$
$$= 1$$
إذن a و b مقلوبان ✓
4) إثبات المعادلة:
$$a^2 = (-2 - \sqrt{2})^2 = 4 + 4\sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}$$
$$a^2 + 4a + 2 = 6 + 4\sqrt{2} + 4(-2 - \sqrt{2}) + 2$$
$$= 6 + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{2} + 2$$
$$= 0$$
✓
5) حساب العبارة:
$$\frac{\sqrt{2}}{a} + \sqrt{a^2} = \frac{\sqrt{2}}{-2-\sqrt{2}} + |-2-\sqrt{2}|$$
$$= -b + (2 + \sqrt{2})$$
$$= -\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right) + 2 + \sqrt{2}$$
$$= 3$$
وهو عدد صحيح ✓
6أ) تفكيك P:
$$P = \frac{1}{a}(\sqrt{2x} - 2\sqrt{2}) - \frac{|a|}{2}(4 - 2x)$$
$$P = \frac{\sqrt{2}}{a}(\sqrt{x} - 2) + (2 + \sqrt{2})(\sqrt{x} - 2)$$
$$P = (\sqrt{x} - 2)\left(\frac{\sqrt{2}}{a} + 2 + \sqrt{2}\right)$$
$$P = 3(\sqrt{x} - 2)$$
6ب) إيجاد x بحيث P = 6:
$$3(\sqrt{x} - 2) = 6$$
$$\sqrt{x} - 2 = 2$$
$$\sqrt{x} = 4$$
$$x = 16$$