تصحيح مفصل للتمرين 9

1. رسم النقاط وإيجاد C

رسم النقاط: نرسم محوري الإحداثيات المتعامدين. النقطة A فاصلتها 3 وترتيبتها 2. النقطة B فاصلتها -3 وترتيبتها 2. النقطة L فاصلتها 0 وترتيبتها 2 (تقع على محور التراتيب).
إيجاد C: \( C = S_L(O) \) يعني أن C هي صورة O (نقطة الأصل) بالتناظر المركزي الذي مركزه L. هذا يعني أن L هي منتصف القطعة [OC].
نستخدم قانون المنتصف: \( x_L = \frac{x_O + x_C}{2} \) و \( y_L = \frac{y_O + y_C}{2} \).
- \( 0 = \frac{0 + x_C}{2} \implies x_C = 0 \).
- \( 2 = \frac{0 + y_C}{2} \implies y_C = 2 \times 2 = 4 \).
إذن، إحداثيات C هي (0; 4).

2. التناظر المحوري والمنتصف

إثبات أن \( S_{(OJ)}(A) = B \):
التناظر المحوري بالنسبة للمحور (OJ) (محور التراتيب) يحول كل نقطة \( M(x; y) \) إلى نقطة \( M'(-x; y) \).
لنطبق هذا على النقطة \( A(3; 2) \). صورتها ستكون \( A'(-3; 2) \).
نلاحظ أن هذه هي بالضبط إحداثيات النقطة B. إذن \( S_{(OJ)}(A) = B \).
استنتاج أن L منتصف [AB]:
نحسب إحداثيات منتصف القطعة [AB]: \( (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}) \).
\( (\frac{3+(-3)}{2}, \frac{2+2}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{4}{2}) = (0; 2) \).
هذه هي إحداثيات النقطة L. إذن L هي منتصف [AB].

3. إثبات أن OACB معين

الفكرة: سنثبت أن الرباعي OACB متوازي أضلاع، ثم نثبت أن له خاصية إضافية (قطران متعامدان).
الخطوة 1: إثبات أنه متوازي أضلاع:
يكفي أن نثبت أن قطريه [OC] و [AB] لهما نفس المنتصف.
- منتصف القطر [AB] هو النقطة L(0; 2) (من السؤال 2).
- منتصف القطر [OC] هو النقطة L(0; 2) (من تعريف النقطة C في السؤال 1).
بما أن القطرين لهما نفس المنتصف، فإن الرباعي OACB هو متوازي أضلاع.
الخطوة 2: إثبات أنه معين:
يكفي أن نثبت أن قطريه متعامدان.
- القطر [OC] يقع على محور التراتيب (OJ) لأنه يربط النقطتين O(0;0) و C(0;4).
- القطر [AB] هو مستقيم أفقي لأنه يربط النقطتين A(3;2) و B(-3;2) اللتين لهما نفس الترتيبة.
بما أن محور التراتيب (عمودي) ومستقيم أفقي متعامدان، فإن القطرين [OC] و [AB] متعامدان.
متوازي الأضلاع الذي قطراه متعامدان هو معين.

4. المساقط

أ) المسقط العمودي لـ B على (OI):
المستقيم (OI) هو محور الفواصل. المسقط العمودي لنقطة على محور الفواصل يعني أننا "نسقطها" بشكل عمودي. فاصلتها لا تتغير، وترتيبتها تصبح صفراً.
النقطة B هي (-3; 2). إذن مسقطها K ستكون إحداثياته (-3; 0).
ب) مسقط A على (OJ) بموازاة (OB):
هذا يعني أننا نرسم مستقيماً يمر من A ويوازي المستقيم (OB)، ونرى أين يقطع هذا المستقيم المحور (OJ).
ميل المستقيم (OB) هو \( \frac{y_B-y_O}{x_B-x_O} = \frac{2-0}{-3-0} = -\frac{2}{3} \).
المستقيم المار من A ويوازي (OB) له نفس الميل. معادلته: \( y - y_A = m(x - x_A) \implies y-2 = -\frac{2}{3}(x-3) \).
نريد نقطة تقاطعه مع المحور (OJ)، الذي معادلته \( x=0 \).
نعوض \(x=0\): \( y-2 = -\frac{2}{3}(0-3) \implies y-2 = -\frac{2}{3}(-3) \implies y-2 = 2 \implies y=4 \).
إذن، المسقط هو النقطة التي فاصلتها 0 وترتيبتها 4، وهي النقطة C(0; 4).

5. التناظر المركزي

D هي صورة A بالتناظر المركزي بالنسبة للمبدأ O. هذا يعني أن O هي منتصف [AD].
التناظر المركزي بالنسبة لـ O يحول كل نقطة \( M(x; y) \) إلى \( M'(-x; -y) \).
صورة النقطة \( A(3; 2) \) هي \( D(-3; -2) \).

6. التناظر المحوري

لإثبات أن B و D متناظرتان بالنسبة للمستقيم (OI) (محور الفواصل)، يجب أن يكون لمحور الفواصل دور الوسيط العمودي للقطعة [BD].
الخطوة 1: نتحقق أن فاصلتيهما متساويتان. B(-3; 2) و D(-3; -2). نعم، فاصلتهما هي -3.
الخطوة 2: نتحقق أن ترتيبتيهما متقابلتان. ترتيبتهما هما 2 و -2. نعم، هما متقابلتان.
هذه هي شروط التناظر بالنسبة لمحور الفواصل. إذن B و D متناظرتان بالنسبة لـ (OI).

تصحيح مفصل للتمرين 10

1. رسم النقاط

يتم رسم النقاط في المعين المتعامد الممنظم بناء على فاصلتها (الإحداثي السيني) وترتيبتها (الإحداثي الصادي).

2. حساب BC وفاصلة منتصفه

حساب BC: النقطتان B و C تقعان على محور الفواصل (OI). المسافة بينهما هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما.
\( BC = |x_C - x_B| = |-\frac{3}{2} - 2| = |-\frac{3}{2} - \frac{4}{2}| = |-\frac{7}{2}| = \frac{7}{2} = 3.5 \).
فاصلة المنتصف E:
\( x_E = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{2 + (-\frac{3}{2})}{2} = \frac{\frac{4}{2} - \frac{3}{2}}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4} \).

3. المنتصفات والتوازي

منتصف [SQ]:
\( (\frac{x_S+x_Q}{2}, \frac{y_S+y_Q}{2}) = (\frac{2+(-2)}{2}, \frac{-1+1}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0;0) \). إذن O هي منتصف [SQ].
منتصف [PR]:
\( (\frac{x_P+x_R}{2}, \frac{y_P+y_R}{2}) = (\frac{3+(-3)}{2}, \frac{2+(-2)}{2}) = (\frac{0}{2}, \frac{0}{2}) = (0;0) \). إذن O هي منتصف [PR].
الاستنتاج:
بما أن O هي منتصف القطرين [SQ] و [PR]، فإن الرباعي PQSR هو متوازي أضلاع.
من خصائص متوازي الأضلاع أن كل ضلعين متقابلين متوازيان. إذن، (PQ) يوازي (SR) (وهو نفسه RS).

4. إحداثيات المسقط العمودي H

الفكرة: المسقط العمودي H للنقطة A على المستقيم (DP) هو نقطة تقاطع المستقيم (DP) مع المستقيم العمودي عليه والمار من A.
الخطوة 1: تحديد طبيعة المستقيم (DP):
لدينا \( D(0;2) \) و \( P(3;2) \). بما أن للنقطتين نفس الترتيبة (y=2)، فإن المستقيم (DP) هو مستقيم أفقي معادلته \( y=2 \).
الخطوة 2: تحديد المستقيم العمودي على (DP):
المستقيم العمودي على مستقيم أفقي هو مستقيم عمودي (رأسي). معادلته تكون من الشكل \( x = \text{ثابت} \).
بما أن هذا المستقيم يجب أن يمر من النقطة \( A(\sqrt{2};0) \)، فإن فاصلته يجب أن تكون \(\sqrt{2}\). إذن، معادلته هي \( x = \sqrt{2} \).
الخطوة 3: إيجاد نقطة التقاطع H:
النقطة H تحقق المعادلتين في نفس الوقت: \( x = \sqrt{2} \) و \( y = 2 \).
إذن، إحداثيات H هي \( (\sqrt{2}; 2) \).