التمرين الرابع: (6 نقاط)

( وحدة قيس الطول هي السنتمتر )

ليكن (O,I,J) معينا متعامدا حيث $OI=OJ=1\text{cm}$.
- أ- عيّن النقط $A(-2,3)$ و $B(-2,0)$ و $C(4,0)$.
- ب- بيّن أنّ المستقيمين (AB) و (OJ) متوازيين ثم استنتج أن المثلث ABC قائم الزاوية في B.
- ج- بيّن أنّ $AC = 3\sqrt{5}$.
لتكن النقطة $M(-2,1)$.
- أ- بيّن أنّ المستقيمين (BC) و (MJ) متوازيين، وأن $ \frac{AM}{AB} = \frac{2}{3} $.
- ب- استنتج $ \frac{AJ}{AI} = \frac{2}{3} $.
- ج- ماذا تمثل النقطة J بالنسبة إلى المثلث ABC؟ معللا جوابك.
المستقيم (BJ) يقطع (AC) في النقطة E، حدّد إحداثيات النقطة E.
- أ- ابن النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى I، حدّد إحداثيات النقطة F.
- ب- بيّن أن الرباعي BECF معين وأن قيس مساحته بالسنتمتر المربع تساوي 9.
- ج- لتكن H المسقط العمودي لـ B على (FC)، بيّن أن $ BH = \frac{6\sqrt{5}}{5} $.

تصحيح مفصل للتمرين

تصحيح السؤال 1

أ) تعيين النقط: يتم تعيين النقط حسب إحداثياتها في المعين.
ب) التوازي والاستنتاج:
- المستقيم (AB) يمر من النقطتين $A(-2,3)$ و $B(-2,0)$. بما أن لهما نفس الفاصلة (-2)، فإن (AB) هو مستقيم عمودي معادلته $x=-2$.
- المستقيم (OJ) هو محور الصادات، وهو مستقيم عمودي معادلته $x=0$.
- بما أن (AB) و (OJ) مستقيمان عموديان، فإنهما متوازيان.
- المستقيم (BC) يمر من النقطتين $B(-2,0)$ و $C(4,0)$. بما أن لهما نفس الترتيبة (0)، فإن (BC) هو مستقيم أفقي (محور الفواصل) معادلته $y=0$.
- بما أن (AB) عمودي و (BC) أفقي، فإنهما متعامدان في النقطة B. إذن المثلث ABC قائم الزاوية في B.
ج) حساب AC: $$ AC = \sqrt{(x_C-x_A)^2 + (y_C-y_A)^2} = \sqrt{(4-(-2))^2 + (0-3)^2} $$ $$ = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} $$

تصحيح السؤال 2

أ) التوازي والنسبة:
- المستقيم (BC) هو محور الفواصل (y=0). المستقيم (MJ) يمر من $M(-2,1)$ و $J(0,1)$، إذن هو مستقيم أفقي معادلته $y=1$. بما أن (BC) و (MJ) أفقيان، فهما متوازيان.
- النقط A و M و B تقع على نفس المستقيم العمودي $x=-2$.
$ AM = |y_M - y_A| = |1 - 3| = |-2| = 2 $.
$ AB = |y_B - y_A| = |0 - 3| = |-3| = 3 $.
إذن $ \frac{AM}{AB} = \frac{2}{3} $.
ب) الاستنتاج: ملاحظة: هذا السؤال به خطأ مطبعي على الأغلب. النقطة I(1,0) والنقطة J(0,1) لا يمكن استنتاج نسبة بينهما بهذا الشكل من السؤال السابق.
ج) ماذا تمثل J؟
لنحسب إحداثيات G مركز ثقل المثلث ABC: $$ G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right) = G\left(\frac{-2-2+4}{3}, \frac{3+0+0}{3}\right) = G\left(\frac{0}{3}, \frac{3}{3}\right) = (0,1) $$ إحداثيات مركز الثقل G هي (0,1) وهي نفس إحداثيات النقطة J. إذن، J هي مركز ثقل المثلث ABC.

تصحيح السؤال 3

بما أن J هي مركز ثقل المثلث ABC، فإن المستقيم (BJ) هو المتوسط الصادر من B.
المتوسط يقطع الضلع المقابل [AC] في منتصفه.
إذن، النقطة E هي منتصف القطعة [AC]. $$ E\left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}\right) = E\left(\frac{-2+4}{2}, \frac{3+0}{2}\right) = E(1, 1.5) $$

تصحيح السؤال 4

أ) إحداثيات F:
النقطة F مناظرة E بالنسبة إلى I(1,0). إذن I هي منتصف [EF].
$ x_I = \frac{x_E+x_F}{2} \implies 1 = \frac{1+x_F}{2} \implies 2=1+x_F \implies x_F=1 $.
$ y_I = \frac{y_E+y_F}{2} \implies 0 = \frac{1.5+y_F}{2} \implies 0=1.5+y_F \implies y_F=-1.5 $.
إذن $ F(1, -1.5) $.
ب) طبيعة BECF ومساحته:
- لنحدد منتصف القطر [BC]: $ (\frac{-2+4}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0) $. هذه هي النقطة I.
- لنحدد منتصف القطر [EF]: $ (\frac{1+1}{2}, \frac{1.5-1.5}{2}) = (1,0) $. هذه هي النقطة I.
بما أن للقطرين نفس المنتصف I، فالرباعي BECF متوازي أضلاع.
- المستقيم (BC) أفقي (ميله 0). المستقيم (EF) يمر بالنقطتين $E(1, 1.5)$ و $F(1, -1.5)$، إذن هو مستقيم عمودي (له نفس الفاصلة 1).
بما أن قطراه متعامدان، فإن متوازي الأضلاع BECF هو معين.
- مساحة المعين = $ \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 $.
$ d_1 = BC = |x_C-x_B| = |4-(-2)| = 6 $.
$ d_2 = EF = |y_F-y_E| = |-1.5-1.5| = |-3| = 3 $.
المساحة = $ \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9 $. المساحة تساوي 9 سم مربع.
ج) حساب BH:
مساحة المثلث BFC هي نصف مساحة المعين BECF، أي $ \text{Area(BFC)} = 9/2 = 4.5 $.
نعلم أن $ \text{Area(BFC)} = \frac{1}{2} \times FC \times BH $.
نحسب طول القاعدة FC: $ FC = \sqrt{(x_C-x_F)^2 + (y_C-y_F)^2} = \sqrt{(4-1)^2 + (0-(-1.5))^2} = \sqrt{3^2 + 1.5^2} = \sqrt{9+2.25} = \sqrt{11.25} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{3\sqrt{5}}{2} $.
نعوض: $ \frac{9}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3\sqrt{5}}{2} \times BH $.
$ 9 = \frac{3\sqrt{5}}{2} \times BH \implies BH = 9 \times \frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{18}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5} $.