نعتبر العبارتين التاليتين: \( A = x^2 - 3x \) و \( B = 3x^2 - 8x - 3 \) حيث x عدد حقيقي.
العبارة هي \( B = 3x^2 - 8x - 3 \).
أ) الحالة الأولى: \( x=3 \)
الخطوة 1: نعوض كل \(x\) بالعدد 3.
\( B = 3(3)^2 - 8(3) - 3 \)
الخطوة 2: نحسب القوى أولاً. \( (3)^2 = 9 \).
\( B = 3(9) - 8(3) - 3 \)
الخطوة 3: ننجز عمليات الضرب.
\( 3 \times 9 = 27 \)
\( 8 \times 3 = 24 \)
\( B = 27 - 24 - 3 \)
الخطوة 4: ننجز عمليات الطرح بالترتيب.
\( B = 3 - 3 = 0 \).
إذن، عندما \( x=3 \)، فإن \( B=0 \).
العبارة هي \( A = x^2 - 3x \).
الخطوة 1: نبحث عن شيء مشترك بين حدي العبارة. الحد الأول هو \(x^2\) (يعني \(x \times x\)) والحد الثاني هو \(3x\) (يعني \(3 \times x\)).
نلاحظ أن \(x\) موجود في كلا الحدين. إذن هو عامل مشترك.
الخطوة 2: نُخرج العامل المشترك \(x\) ونفتح قوساً.
\( A = x(\dots - \dots) \)
- من الحد الأول \(x^2\)، إذا أخذنا \(x\)، يبقى \(x\).
- من الحد الثاني \(-3x\)، إذا أخذنا \(x\)، يبقى \(-3\).
إذن، \( A = x(x-3) \).
للتبيين، ننطلق من الطرف الثاني ونقوم بعملية النشر (التوزيع) لنرى إذا كنا سنحصل على عبارة B.
الخطوة 1: ننشر \( (x-3)(3x+1) \). نوزع كل حد من القوس الأول على القوس الثاني.
\( x \times (3x+1) = x \times 3x + x \times 1 = 3x^2 + x \)
\( -3 \times (3x+1) = -3 \times 3x - 3 \times 1 = -9x - 3 \)
الخطوة 2: نجمع النتائج.
\( (x-3)(3x+1) = 3x^2 + x - 9x - 3 \)
الخطوة 3: نجمع الحدود المتشابهة (الحدود التي تحتوي على x).
\( +x - 9x = -8x \)
إذن، النتيجة هي \( 3x^2 - 8x - 3 \). وهذه هي بالضبط عبارة B.
الخطوة 1: نعوض A و B بالعبارات المفككة التي وجدناها، لأنها ستساعدنا في إيجاد عامل مشترك.
\( A = x(x-3) \)
\( B = (3x+1)(x-3) \)
\( A - B = x(x-3) - (3x+1)(x-3) \)
الخطوة 2: نلاحظ أن القوس \( (x-3) \) هو عامل مشترك موجود في كلا الجزأين.
الخطوة 3: نخرج العامل المشترك \( (x-3) \) ونفتح معقوفة لوضع ما تبقى.
\( A - B = (x-3)[x - (3x+1)] \)
الخطوة 4: نبسط ما بداخل المعقوفة. انتبه لإشارة الناقص قبل القوس.
\( x - (3x+1) = x - 3x - 1 = -2x - 1 \)
الخطوة 5: نكتب النتيجة النهائية.
\( A - B = (x-3)(-2x-1) \).
المعادلة \(A=B\) تكافئ المعادلة \(A-B=0\).
الخطوة 1: نستخدم الشكل المفكك لـ A-B الذي وجدناه.
\( (x-3)(-2x-1) = 0 \)
الخطوة 2: نستخدم خاصية الجداء المعدوم.
إما \( x-3=0 \) أو \( -2x-1=0 \).
الخطوة 3: نحل كل معادلة.
- \( x-3=0 \implies x=3 \).
- \( -2x-1=0 \implies -2x = 1 \implies x = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \).
إذن، مجموعة الحلول هي \( S = \{3, -\frac{1}{2}\} \).
الخطوة 1: نعوض A بعبارتها.
\( x^2+1 \ge x^2 - 3x \)
الخطوة 2: ننقل الحدود لجعل المجاهيل في طرف والأعداد في طرف. يمكننا أن نطرح \(x^2\) من كلا الطرفين.
\( (x^2 - x^2) + 1 \ge (x^2 - x^2) - 3x \)
\( 1 \ge -3x \)
الخطوة 3: نريد عزل \(x\). سنقسم الطرفين على \(-3\). انتباه! عند القسمة أو الضرب في عدد سالب، يجب أن نعكس اتجاه المتراجحة.
\( \frac{1}{-3} \le \frac{-3x}{-3} \)
\( -\frac{1}{3} \le x \)
هذا يعني أن \(x\) يجب أن يكون أكبر من أو يساوي \(-\frac{1}{3}\).
مجموعة الحلول هي كل الأعداد في المجال \( [-\frac{1}{3}, +\infty[ \).
ليكن \( (O,I,J) \) معينا متعامدا حيث \( OI=OJ=1cm \).
النقطة A(-3, 1): ننطلق من المبدأ O. نتحرك بـ 3 وحدات إلى اليسار (لأن الفاصلة -3)، ثم بوحدة واحدة إلى الأعلى (لأن الترتيبة 1).
النقطة B(-1, 3): ننطلق من المبدأ O. نتحرك بوحدة واحدة إلى اليسار (الفاصلة -1)، ثم بـ 3 وحدات إلى الأعلى (الترتيبة 3).
النقطة C(1, 1): ننطلق من المبدأ O. نتحرك بوحدة واحدة إلى اليمين (الفاصلة 1)، ثم بوحدة واحدة إلى الأعلى (الترتيبة 1).
المستقيم (OI) هو محور الفواصل. يكون مستقيم موازياً لمحور الفواصل إذا كان لجميع نقاطه نفس الترتيبة (أي إذا كان "أفقياً").
لننظر إلى ترتيبتي A و C.
ترتيبة A هي \( y_A = 1 \).
ترتيبة C هي \( y_C = 1 \).
بما أن \( y_A = y_C \)، فإن المستقيم (AC) أفقي، وبالتالي فهو يوازي محور الفواصل (OI).
نستخدم قاعدة إحداثيات المنتصف: \( G = \left(\frac{x_A+x_C}{2}, \frac{y_A+y_C}{2}\right) \).
\( x_G = \frac{-3+1}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
\( y_G = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
إذن، إحداثيات G هي \( (-1, 1) \).
معنى "D مناظرة B بالنسبة إلى G" هو أن G هي منتصف القطعة [BD].
نستخدم قاعدة المنتصف مرة أخرى، ولكن هذه المرة G معلومة و D مجهولة.
\( x_G = \frac{x_B+x_D}{2} \implies -1 = \frac{-1+x_D}{2} \implies -2 = -1+x_D \implies x_D = -2+1 = -1 \)
\( y_G = \frac{y_B+y_D}{2} \implies 1 = \frac{3+y_D}{2} \implies 2 = 3+y_D \implies y_D = 2-3 = -1 \)
إذن، إحداثيات D هي \( (-1, -1) \).
المستقيم (OJ) هو محور التراتيب. يكون مستقيم موازياً لمحور التراتيب إذا كان لجميع نقاطه نفس الفاصلة (أي إذا كان "عمودياً").
لننظر إلى فاصلتي B و D.
فاصلة B هي \( x_B = -1 \).
فاصلة D هي \( x_D = -1 \).
بما أن \( x_B = x_D \)، فإن المستقيم (BD) عمودي، وبالتالي فهو يوازي محور التراتيب (OJ).
الاستنتاج: أثبتنا أن (AC) يوازي (OI) (محور أفقي)، وأثبتنا أن (BD) يوازي (OJ) (محور عمودي). بما أن المحورين (OI) و (OJ) متعامدان، فإن المستقيمين (AC) و (BD) متعامدان أيضاً.
نستخدم قاعدة حساب المسافة بين نقطتين: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
حساب AC:
\( AC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(1+3)^2 + 0^2} = \sqrt{4^2} = \sqrt{16} = 4 \)
حساب BD:
\( BD = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{(-1+1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0^2 + 16} = \sqrt{16} = 4 \)
إذن، \( AC = BD = 4 \).
لنلخص ما نعرفه عن الرباعي ABCD:
1. G هي منتصف [AC] (من 1.ج).
2. G هي منتصف [BD] (من تعريف D في 2.أ).
بما أن للرباعي ABCD نفس منتصف القطرين، فهو متوازي أضلاع.
3. أثبتنا أيضاً أن قطريه (AC) و (BD) متعامدان (من 2.ب).
متوازي الأضلاع الذي قطراه متعامدان هو معين.
4. أثبتنا أيضاً أن قطريه متقايسان (AC=BD) (من 3.أ).
متوازي الأضلاع الذي قطراه متقايسان هو مستطيل.
الرباعي الذي هو معين ومستطيل في نفس الوقت هو مربع.
إذن، طبيعة الرباعي ABCD هي مربع.
بما أن ABCD مربع، يمكن حساب مساحته بطريقتين:
الطريقة 1 (باستخدام القطرين): مساحة المعين هي \( \frac{\text{القطر}_1 \times \text{القطر}_2}{2} \).
\( \text{المساحة} = \frac{AC \times BD}{2} = \frac{4 \times 4}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).
الطريقة 2 (باستخدام الضلع): سنحسبها في السؤال التالي.
بما أن ABCD مربع مساحته 8، فإن مساحته تساوي أيضاً \( \text{الضلع}^2 \).
\( AB^2 = 8 \implies AB = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \).
تحقق باستخدام قانون المسافة:
\( AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-1+3)^2 + 2^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} \).
النتائج متطابقة. إذن طول الضلع [AB] هو \( \sqrt{8} \) أو \( 2\sqrt{2} \) cm.
يمثل الشكل المقترح بالورقة المصاحبة متوازي أضلاع MNPK حيث \( MN=6 \) و \( NP=8 \).
ملاحظة: السؤال رقم 3 غير مكتمل في نص التمرين، لذا سيتم حل الأسئلة التي تسبقه فقط.
الخطوة 1: نحدد المثلث والمعطيات التي سنستخدمها. لدينا المثلث MNP.
الخطوة 2: نحدد مواقع النقط والمستقيمات.
- لدينا النقطة E تنتمي للضلع (MN).
- لدينا النقطة F تنتمي للضلع (MP).
- لدينا المستقيم (EF) يوازي المستقيم (NP) (حسب معطيات التمرين).
الخطوة 3: بما أن الشروط متوفرة، يمكننا تطبيق مبرهنة طاليس المباشرة في المثلث MNP.
تقول المبرهنة:
\( \frac{ME}{MN} = \frac{MF}{MP} = \frac{EF}{NP} \)
الخطوة 4: نستخدم الجزء من النسبة الذي يحتوي على الأطوال المعلومة والمطلوبة.
\( \frac{ME}{MN} = \frac{MF}{MP} \)
الخطوة 5: نعوض بالقيم العددية المعطاة.
نعلم أن \( ME=2 \) و \( MN=6 \).
\( \frac{2}{6} = \frac{MF}{MP} \)
الخطوة 6: نختزل الكسر \( \frac{2}{6} \). بقسمة البسط والمقام على 2، نحصل على \( \frac{1}{3} \).
إذن، \( \frac{MF}{MP} = \frac{1}{3} \). وهو المطلوب.
الخطوة 1: ننطلق من النتيجة السابقة: \( \frac{MF}{MP} = \frac{1}{3} \).
الخطوة 2: نستخدم الجداء المتقاطع (أو نضرب الطرفين في 3MP).
\( 3 \times MF = 1 \times MP \implies MP = 3 FM \)
هذا يخبرنا أن طول القطر MP يساوي 3 مرات طول القطعة MF.
الخطوة 3: ننظر إلى القطر [MP]. النقطة F تقع على هذه القطعة، إذن يمكننا كتابة أن طول القطر كاملاً يساوي مجموع طولي قطعتيه.
\( MP = MF + FP \)
الخطوة 4: لدينا الآن عبارتان لـ MP. نساويهما.
\( 3 FM = MF + FP \)
الخطوة 5: نحل المعادلة لإيجاد علاقة بين FP و FM. ننقل MF إلى الطرف الأيسر.
\( 3 FM - MF = FP \)
\( 2 FM = FP \)
إذن، \( FP = 2 FM \). وهذا يثبت أن طول القطعة FP هو ضعف طول القطعة FM.
نص السؤال الثالث غير مكتمل. يذكر أن المستقيم (NF) يقطع ضلعين آخرين ولكنه لا يطرح سؤالاً محدداً حول هذه التقاطعات. لذلك، لا يمكن تقديم حل لهذا الجزء.