نعتبر العبارة \( E = 3x^2 - x - 4 \) حيث \( x \in \mathbb{R} \).
الهدف: نريد أن نثبت أن العبارتين متساويتان. أسهل طريقة هي أن نبدأ من الطرف الثاني ونبسطه لنصل إلى الطرف الأول.
الخطوة 1: لنبدأ بالعبارة \( 3(x^2 - 1) - (x + 1) \).
الخطوة 2: نقوم بتوزيع العدد 3 على القوس الأول. هذا يعني أننا نضرب 3 في كل حد داخل القوس.
\( 3 \times x^2 = 3x^2 \)
\( 3 \times (-1) = -3 \)
فتصبح العبارة: \( 3x^2 - 3 - (x + 1) \).
الخطوة 3: الآن نزيل القوس الثاني. انتبه! يوجد علامة ناقص "-" قبل القوس، وهذا يعني أننا نغير إشارة كل حد داخل القوس.
\( -(x+1) \) تصبح \( -x - 1 \).
الخطوة 4: نجمع كل ما حصلنا عليه.
\( E = 3x^2 - 3 - x - 1 \)
الخطوة 5: نرتب الحدود ونجمع الأعداد مع بعضها.
\( E = 3x^2 - x - 3 - 1 \)
\( -3 - 1 = -4 \)
إذن، \( E = 3x^2 - x - 4 \).
وهذه هي العبارة الأصلية لـ E. إذن لقد أثبتنا المطلوب.
الهدف: نريد كتابة E على شكل جداء (ضرب) عبارتين.
الخطوة 1: نستخدم الشكل الذي أثبتناه في السؤال السابق لأنه سيساعدنا في إيجاد عامل مشترك.
\( E = 3(x^2 - 1) - (x + 1) \)
الخطوة 2: نلاحظ أن العبارة \( (x^2 - 1) \) هي متطابقة هامة شهيرة: فرق مربعين \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
هنا، \( a=x \) و \( b=1 \). إذن، \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \).
الخطوة 3: نعوض هذا في عبارة E.
\( E = 3(x-1)(x+1) - (x+1) \)
الخطوة 4: الآن نلاحظ أن القوس \( (x+1) \) موجود في كلا الجزأين من العبارة. إذن هو "عامل مشترك". يمكننا "سحبه" خارج العبارة.
\( E = (x+1) \times [ \text{ما تبقى من الجزء الأول} - \text{ما تبقى من الجزء الثاني} ] \)
ما تبقى من الجزء الأول هو \( 3(x-1) \).
ما تبقى من الجزء الثاني هو 1 (لأن \( -(x+1) \) هو نفسه \( -1 \times (x+1) \)).
إذن: \( E = (x+1) [3(x-1) - 1] \)
الخطوة 5: نبسط ما بداخل القوس الكبير.
\( 3(x-1) - 1 = 3x - 3 - 1 = 3x - 4 \)
الخطوة 6: نكتب النتيجة النهائية للتفكيك.
\( E = (x+1)(3x-4) \).
الهدف: إيجاد قيم \(x\) التي تجعل العبارة E تساوي صفراً.
الخطوة 1: نستخدم الشكل المفكك للعبارة E لأنه يجعل الحل سهلاً جداً.
\( (x+1)(3x-4) = 0 \)
الخطوة 2: نستخدم خاصية "الجداء المعدوم": إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفر، فهذا يعني أن أحد العددين (أو كلاهما) يجب أن يكون صفراً.
إما القوس الأول يساوي صفر، أو القوس الثاني يساوي صفر.
الحالة 1: \( x + 1 = 0 \). لحل هذه المعادلة البسيطة، ننقل 1 إلى الطرف الآخر فتتغير إشارته.
\( x = -1 \). هذا هو الحل الأول.
الحالة 2: \( 3x - 4 = 0 \). ننقل -4 إلى الطرف الآخر فتصبح +4.
\( 3x = 4 \). الآن نقسم الطرفين على 3 لنجد \(x\).
\( x = \frac{4}{3} \). هذا هو الحل الثاني.
الخطوة 3: نكتب مجموعة الحلول.
مجموعة حلول المعادلة هي \( S = \{-1, \frac{4}{3}\} \).
يمثل الرسم التالي مربعاً ABCD قيس طول ضلعه 2، ومثلثاً IJA متقايس الأضلاع. حيث H منتصف [AI] و A نقطة من [ID]. و \(AH = x\).
الهدف: إيجاد صيغة لمساحة المثلث IJA بدلالة \(x\).
الخطوة 1: نتذكر المعلومات المعطاة. المثلث IJA "متقايس الأضلاع". هذا يعني أن كل أضلاعه متساوية وكل زواياه 60 درجة.
الخطوة 2: نتذكر قاعدة حساب مساحة مثلث متقايس الأضلاع. إذا كان طول ضلعه \(a\)، فمساحته هي \( \text{المساحة} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).
الخطوة 3: نحدد طول ضلع المثلث IJA. طول ضلعه هو IA. نحن لا نعرف IA مباشرة، لكننا نعرف أن H هي منتصف [AI] وأن المسافة \( AH = x \).
بما أن H هي منتصف IA، فإن طول IA هو ضعف طول AH.
\( IA = 2 \times AH = 2x \)
إذن، طول ضلع المثلث المتقايس الأضلاع هو \( a = 2x \).
الخطوة 4: نعوض قيمة \(a\) في قانون المساحة.
\( s = \frac{(2x)^2 \sqrt{3}}{4} \)
الخطوة 5: نبسط العبارة. ننتبه إلى أن \( (2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4x^2 \).
\( s = \frac{4x^2 \sqrt{3}}{4} \)
نختزل العدد 4 من البسط والمقام.
\( s = x^2 \sqrt{3} \). وهو المطلوب إثباته.
الهدف: إيجاد صيغة لمساحة الشكل HBCD بدلالة \(x\).
الخطوة 1: نتعرف على الشكل HBCD. ABCD مربع، إذن الضلع BC يوازي الضلع AD. بما أن النقاط H و A و D على استقامة واحدة، فإن الضلع BC يوازي الضلع HD. الشكل الذي له ضلعان متوازيان فقط هو "شبه منحرف".
القاعدتان المتوازيتان (القاعدة الصغرى والقاعدة الكبرى) هما BC و HD. والارتفاع هو المسافة العمودية بينهما، وهو طول الضلع CD.
الخطوة 2: نتذكر قانون مساحة شبه المنحرف.
\( \text{المساحة} = \frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2} \)
الخطوة 3: نحدد أطوال الأجزاء الثلاثة بدلالة \(x\).
- القاعدة الصغرى: \( BC \). بما أن ABCD مربع طول ضلعه 2، فإن \( BC = 2 \).
- القاعدة الكبرى: \( HD \). النقط على استقامة واحدة بالترتيب H ثم A ثم D. إذن \( HD = HA + AD \). نحن نعلم أن \( HA = x \) وأن \( AD = 2 \) (ضلع المربع). إذن \( HD = x + 2 \).
- الارتفاع: \( CD \). هو ضلع المربع، إذن \( CD = 2 \).
الخطوة 4: نعوض هذه القيم في قانون المساحة.
\( t = \frac{((x+2) + 2) \times 2}{2} \)
الخطوة 5: نبسط العبارة. يمكننا اختزال العدد 2 في البسط والمقام.
\( t = (x+2) + 2 = x + 4 \)
إذن، مساحة شبه المنحرف هي \( t = x + 4 \).
الهدف: إيجاد \(x\) من خلال علاقة التناسب.
الخطوة 1: نفهم معنى "s و t متناسبان طرداً مع 1 و \( \sqrt{3} \) ".
هذا يعني أن النسبة بين \(s\) و 1 هي نفسها النسبة بين \(t\) و \( \sqrt{3} \). نكتبها على شكل معادلة:
\( \frac{s}{1} = \frac{t}{\sqrt{3}} \)
الخطوة 2: نعوض \(s\) و \(t\) بالصيغ التي وجدناها في السؤالين السابقين.
\( s = x^2 \sqrt{3} \) و \( t = x + 4 \).
\( \frac{x^2 \sqrt{3}}{1} = \frac{x + 4}{\sqrt{3}} \)
الخطوة 3: نحل هذه المعادلة لإيجاد \(x\). نستخدم "الجداء المتقاطع" (أو نضرب الطرفين في \( \sqrt{3} \)).
\( (x^2 \sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 1 \times (x + 4) \)
نعلم أن \( \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3 \).
\( 3x^2 = x + 4 \)
الخطوة 4: ننقل كل الحدود إلى طرف واحد لنجعلها معادلة صفرية، تشبه ما فعلناه في الجزء الأول.
\( 3x^2 - x - 4 = 0 \)
الخطوة 5: يا للمفاجأة! هذه هي نفسها المعادلة \( E = 0 \) التي حللناها في الجزء الأول من التمرين.
من السؤال (1.ج)، نعلم أن حلي هذه المعادلة هما \( x = -1 \) و \( x = \frac{4}{3} \).
الخطوة 6: نختار الحل الصحيح. في هذا الجزء من التمرين، \(x\) يمثل طولاً (المسافة AH). الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة.
لذلك، الحل \( x = -1 \) مرفوض.
الحل الوحيد الممكن هو \( x = \frac{4}{3} \).
إذن، قيمة \(x\) هي \( \frac{4}{3} \).