التمرين الثالث

تصحيح مفصل للجزء I

1) أ) حساب قيمة \( a \)

لدينا العبارة \( a = x^2 - 8x + 11 \) والمطلوب هو حساب قيمة \( a \) عندما تكون \( x = 4 - \sqrt{5} \).
الخطوة 1: نعوض \( x \) بقيمتها في العبارة \( a \).
\( a = (4 - \sqrt{5})^2 - 8(4 - \sqrt{5}) + 11 \)
الخطوة 2: نحسب \( (4 - \sqrt{5})^2 \). هذه متطابقة هامة من شكل \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).
\( (4 - \sqrt{5})^2 = 4^2 - 2 \times 4 \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 16 - 8\sqrt{5} + 5 = 21 - 8\sqrt{5} \)
الخطوة 3: نحسب \( -8(4 - \sqrt{5}) \). نقوم بعملية التوزيع.
\( -8 \times 4 = -32 \)
\( -8 \times (-\sqrt{5}) = +8\sqrt{5} \)
إذن، \( -8(4 - \sqrt{5}) = -32 + 8\sqrt{5} \).
الخطوة 4: نجمع كل النتائج.
\( a = (21 - 8\sqrt{5}) + (-32 + 8\sqrt{5}) + 11 \)
\( a = 21 - 8\sqrt{5} - 32 + 8\sqrt{5} + 11 \)
نلاحظ أن \( -8\sqrt{5} \) و \( +8\sqrt{5} \) يلغيان بعضهما البعض.
\( a = 21 - 32 + 11 = -11 + 11 = 0 \)
إذن، القيمة العددية للعبارة \( a \) هي 0.

---

2) أ) إثبات أن \( a = (x-4-\sqrt{5})(x-4+\sqrt{5}) \)

المطلوب هو أن نبين أن الطرف الأيمن يساوي الطرف الأيسر.
الخطوة 1: ننظر إلى العبارة \( (x-4-\sqrt{5})(x-4+\sqrt{5}) \). نلاحظ أنها على شكل المتطابقة الهامة \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \).
هنا، \( A = (x-4) \) و \( B = \sqrt{5} \).
الخطوة 2: نطبق المتطابقة الهامة.
\( (x-4-\sqrt{5})(x-4+\sqrt{5}) = (x-4)^2 - (\sqrt{5})^2 \)
الخطوة 3: نفكك \( (x-4)^2 \). هذه متطابقة هامة أخرى \( (a-b)^2 \).
\( (x-4)^2 = x^2 - 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \)
الخطوة 4: نعوض في العبارة.
\( (x^2 - 8x + 16) - 5 \)
\( = x^2 - 8x + 11 \)
وهذه هي العبارة \( a \). إذن، أثبتنا أن \( a = (x-4-\sqrt{5})(x-4+\sqrt{5}) \).

---

2) ب) حل المعادلة \( x^2 = 8x - 11 \)

الخطوة 1: نعيد ترتيب المعادلة لجعلها معادلة صفرية (كل الحدود في طرف واحد).
\( x^2 - 8x + 11 = 0 \)
الخطوة 2: نلاحظ أن هذه المعادلة هي نفسها \( a = 0 \).
الخطوة 3: من السؤال السابق (2.أ)، نحن نعلم أن \( a \) يمكن كتابتها على شكل جداء.
\( (x-4-\sqrt{5})(x-4+\sqrt{5}) = 0 \)
الخطوة 4: خاصية الجداء المعدوم تقول: إذا كان جداء عاملين يساوي صفر، فإن أحد العاملين (أو كلاهما) يجب أن يساوي صفر.
إما \( x - 4 - \sqrt{5} = 0 \) أو \( x - 4 + \sqrt{5} = 0 \).
الخطوة 5: نحل كل معادلة على حدة.
المعادلة الأولى: \( x - 4 - \sqrt{5} = 0 \implies x = 4 + \sqrt{5} \).
المعادلة الثانية: \( x - 4 + \sqrt{5} = 0 \implies x = 4 - \sqrt{5} \).
إذن، حلا المعادلة هما \( S = \{ 4 - \sqrt{5}, 4 + \sqrt{5} \} \).

تصحيح مفصل للجزء II

1) أ) إثبات أن المثلث ABC قائم الزاوية

لإثبات أن المثلث قائم الزاوية، نستخدم مبرهنة فيثاغورس العكسية. يجب أن نتحقق إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
الخطوة 1: نحدد أطوال الأضلاع: \( AB=4, AC=2\sqrt{5}, BC=6 \). أطول ضلع هو BC.
الخطوة 2: نحسب مربع كل ضلع.
\( AB^2 = 4^2 = 16 \)
\( AC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 2^2 \times (\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 \)
\( BC^2 = 6^2 = 36 \)
الخطوة 3: نجمع مربعي الضلعين الأقصر.
\( AB^2 + AC^2 = 16 + 20 = 36 \)
الخطوة 4: نقارن النتيجة بمربع الضلع الأطول.
نلاحظ أن \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \) (لأن \( 36 = 36 \)).
إذن، حسب مبرهنة فيثاغورس العكسية، المثلث ABC قائم الزاوية في الرأس المقابل للوتر BC، أي في A.

---

2) أ) تبيين أن \( 0 \le x \le 4 \)

لدينا M نقطة من قطعة المستقيم [AB]، و \( BM = x \). طول القطعة [AB] هو 4.
بما أن M تنتمي إلى القطعة [AB]، فإن المسافة BM يجب أن تكون بين 0 (عندما تكون M منطبقة على B) و 4 (عندما تكون M منطبقة على A).
لذلك، \( 0 \le BM \le AB \)، مما يعني \( 0 \le x \le 4 \).

---

2) ب) حساب AN بدلالة \( x \)

لدينا (MN) يوازي (BC). M على (AB) و N على (AC).
الخطوة 1: حسب مبرهنة طاليس المباشرة في المثلث ABC، لدينا النسب التالية:
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \)
الخطوة 2: نحسب طول AM. نعلم أن \( BM = x \) و \( AB = 4 \). بما أن M بين A و B، فإن \( AM = AB - BM = 4 - x \).
الخطوة 3: نستخدم النسبة التي تربط بين الأضلاع المعلومة والمجهولة.
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \)
\( \frac{4-x}{4} = \frac{AN}{2\sqrt{5}} \)
الخطوة 4: نحل المعادلة لإيجاد AN (باستخدام الجداء المتقاطع).
\( AN = \frac{(4-x) \times 2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}(4-x)}{2} \)
إذن، \( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(4-x) \).

---

2) ج) حساب مساحة المثلث AMN

الخطوة 1: بما أن المثلث ABC قائم في A، فإن المثلث AMN هو أيضاً قائم في A.
الخطوة 2: مساحة المثلث القائم تساوي نصف جداء طولي ضلعي الزاوية القائمة. \( S_{AMN} = \frac{1}{2} \times AM \times AN \)
الخطوة 3: نعوض AM و AN بقيمتيهما بدلالة \( x \).
\( AM = 4 - x \)
\( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(4-x) \)
\( S_{AMN} = \frac{1}{2} \times (4-x) \times \left( \frac{\sqrt{5}}{2}(4-x) \right) \)
\( S_{AMN} = \frac{\sqrt{5}}{4} \times (4-x) \times (4-x) = \frac{\sqrt{5}}{4}(4-x)^2 \). وهو المطلوب.

---

3) أ) تبيين أن \( 0 \le S_{AMN} \le 4\sqrt{5} \)

الخطوة 1: انطلاقاً من السؤال (2.أ)، نعلم أن \( 0 \le x \le 4 \).
الخطوة 2: نطرح 4 من كل أطراف المتراجحة (مع عكس الترتيب عند ضرب في سالب، أو يمكن التعامل معها كـ \( 0 \le 4-x \le 4 \)).
\( -4 \le -x \le 0 \). نضيف 4: \( 0 \le 4-x \le 4 \).
الخطوة 3: نربع أطراف المتراجحة. بما أن الأطراف كلها موجبة، يبقى الترتيب كما هو.
\( 0^2 \le (4-x)^2 \le 4^2 \implies 0 \le (4-x)^2 \le 16 \)
الخطوة 4: نضرب كل الأطراف في العدد الموجب \( \frac{\sqrt{5}}{4} \). الترتيب لا يتغير.
\( 0 \times \frac{\sqrt{5}}{4} \le \frac{\sqrt{5}}{4}(4-x)^2 \le 16 \times \frac{\sqrt{5}}{4} \)
\( 0 \le S_{AMN} \le 4\sqrt{5} \). وهو المطلوب.

---

3) ب) هل يمكن أن تكون المساحة \( S_{AMN} = 4\sqrt{5} + 1 \)؟

من السؤال السابق، أثبتنا أن القيمة القصوى لمساحة المثلث AMN هي \( 4\sqrt{5} \).
القيمة \( 4\sqrt{5} + 1 \) هي أكبر من \( 4\sqrt{5} \).
لذلك، لا يمكن أن توجد نقطة M بحيث تكون المساحة \( S_{AMN} = 4\sqrt{5} + 1 \) لأن هذا يتجاوز أقصى مساحة ممكنة للمثلث AMN (والتي تحدث عندما M=A، حيث يصبح المثلث AMN هو المثلث ABC نفسه).

---

4) أ) ربط \( S_{AMN} \) بالمعادلة من الجزء الأول

الخطوة 1: ننطلق من المعطى: \( S_{AMN} = \frac{5\sqrt{5}}{4} \).
الخطوة 2: نعوض \( S_{AMN} \) بالصيغة التي وجدناها سابقاً.
\( \frac{\sqrt{5}}{4}(4-x)^2 = \frac{5\sqrt{5}}{4} \)
الخطوة 3: نحل هذه المعادلة. يمكننا قسمة الطرفين على \( \frac{\sqrt{5}}{4} \).
\( (4-x)^2 = 5 \)
الخطوة 4: نفكك القوس (متطابقة هامة).
\( 4^2 - 2 \times 4 \times x + x^2 = 5 \)
\( 16 - 8x + x^2 = 5 \)
الخطوة 5: ننقل 5 إلى الطرف الأيسر لنحصل على معادلة صفرية.
\( x^2 - 8x + 16 - 5 = 0 \)
\( x^2 - 8x + 11 = 0 \). وهو المطلوب.

---

4) ب) حساب البعد AN

الخطوة 1: لإيجاد AN، يجب أولاً إيجاد قيمة \( x \). نحن بحاجة إلى حل المعادلة \( x^2 - 8x + 11 = 0 \).
من حل السؤال (I.2.ب)، وجدنا أن الحلين هما \( x_1 = 4 - \sqrt{5} \) و \( x_2 = 4 + \sqrt{5} \).
الخطوة 2: نختار الحل الصحيح. نحن نعلم من السؤال (II.2.أ) أن \( 0 \le x \le 4 \).
- \( x_2 = 4 + \sqrt{5} \approx 4 + 2.23 = 6.23 \). هذا الحل أكبر من 4، إذن هو مرفوض.
- \( x_1 = 4 - \sqrt{5} \approx 4 - 2.23 = 1.77 \). هذا الحل يقع بين 0 و 4، إذن هو الحل المقبول.
إذن، \( x = 4 - \sqrt{5} \).
الخطوة 3: الآن نحسب AN باستخدام الصيغة من السؤال (II.2.ب): \( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(4-x) \).
نعوض \( x \) بقيمتها.
\( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(4 - (4 - \sqrt{5})) \)
\( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(4 - 4 + \sqrt{5}) \)
\( AN = \frac{\sqrt{5}}{2}(\sqrt{5}) = \frac{(\sqrt{5})^2}{2} = \frac{5}{2} \)
إذن، البعد AN يساوي 2.5 cm.