المدرسة الإعدادية النموذجية صفاقس البحيرة
الأستاذ: دفواراتي
مسابقة في الرياضيات - نموذجية البحيرة
الجولة 3
2021
Generated code

التمرين رقم 3

نعتبر العبارة \( E = x^2 + 4x - 3 \)

  1. احسب E في حالة \( x = 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \).
  2. اكتب في صيغة جذاء العبارة \( E+7 \).
  3. استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة E.
  4. (تم دمج وإعادة صياغة السؤالين 4 و 5 لوجود تناقضات في النص الأصلي)
    نعتبر الرسم السابق حيث EFG مثلث قائم الزاوية في E أبعاده:
    \( FG = x+6 \)، \( EG = 2x \)، \( EF = x+2 \).
    أ) بتطبيق نظرية بيتاغور في المثلث EFG بيّن أنّ x تحقق المعادلة \( x^2-2x-8 = 0 \). (A=0 حيث A هي العبارة من تمرين سابق)
    ب) استنتج أبعاد المثلث EFG.

تصحيح مفصل

1) حساب E:
نعوض x بقيمتها: \( E = (1-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 4(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 3 \)
\( = (1 - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{3}{4}) + (4 - 2\sqrt{3}) - 3 \)
\( = (1 - \sqrt{3} + \frac{3}{4}) + 4 - 2\sqrt{3} - 3 = (\frac{4}{4}+\frac{3}{4}) - \sqrt{3} + 1 - 2\sqrt{3} = \frac{7}{4} + 1 - 3\sqrt{3} = \frac{11}{4} - 3\sqrt{3} \).

2) تفكيك E+7:
\( E+7 = (x^2 + 4x - 3) + 7 = x^2 + 4x + 4 \).
هذه متطابقة هامة، إذن \( E+7 = (x+2)^2 \).

3) استنتاج تفكيك E:
ننطلق من النتيجة السابقة: \( E = (E+7) - 7 = (x+2)^2 - 7 \).
نعتبرها فرق مربعين: \( E = (x+2)^2 - (\sqrt{7})^2 = (x+2-\sqrt{7})(x+2+\sqrt{7}) \).

4) أ) تطبيق نظرية بيتاغور:
في المثلث EFG القائم في E، لدينا: \( EG^2 + EF^2 = FG^2 \).
\( (2x)^2 + (x+2)^2 = (x+6)^2 \)
\( 4x^2 + (x^2+4x+4) = x^2+12x+36 \)
\( 5x^2 + 4x + 4 = x^2 + 12x + 36 \)
ننقل كل الحدود إلى طرف واحد:
\( 4x^2 - 8x - 32 = 0 \).
نقسم المعادلة على 4: \( x^2 - 2x - 8 = 0 \).

4) ب) استنتاج أبعاد المثلث:
نحل المعادلة \( x^2 - 2x - 8 = 0 \).
يمكن تفكيكها إلى \( (x-4)(x+2) = 0 \).
الحلول هي x=4 أو x=-2. بما أن x يمثل جزءاً من طول، فيجب أن يكون موجباً. إذن الحل المقبول هو \( x=4 \).
نعوض x=4 في الأبعاد:
- \( EG = 2x = 2(4) = 8 \).
- \( EF = x+2 = 4+2 = 6 \).
- \( FG = x+6 = 4+6 = 10 \).
(نلاحظ أنها أبعاد مثلث قائم شهير 6-8-10).

التمرين رقم 4

ملاحظة هامة: معطيات هذا التمرين متناقضة. إذا كان ABCD متوازي أضلاع، فيجب أن يكون AB=CD، ولكن المعطيات هي AB=4 و CD=8. كذلك، إذا كان \(CD \perp BD\)، فالزاوية D قائمة، مما يعني أنه مستطيل، ولكن أطوال أضلاعه لا تحقق نظرية فيثاغورس (\(BC^2 \neq CD^2+BD^2\)). لذلك، لا يمكن حل التمرين كما هو مكتوب.

التمرين رقم 1 (من الصفحة الثانية)

ملاحظة هامة: هذا التمرين يحتوي على أخطاء مطبعية متعددة في تعريف العددين a و b وفي الأسئلة، مما يجعل الحل غير ممكن كما هو مكتوب. سنقوم بتصحيح ما هو ممكن.

نعتبر العددين a و b حيث \( a = \sqrt{(\frac{3}{2}-\sqrt{5})^2} + 1 - \sqrt{5} - \sqrt{20}-\sqrt{10} \) و \( b = 1 - \frac{6-(1+\sqrt{5})^2}{4} \).

  1. بيّن ان \( a = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) و \( b = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \).

تصحيح مفصل

1) تبسيط a و b:
- تبسيط a: العبارة المعطاة لـ a تحتوي على أخطاء طباعة ولا يمكن تبسيطها إلى القيمة المطلوبة. \( |\frac{3}{2}-\sqrt{5}| = \sqrt{5}-\frac{3}{2} \). \( a = \sqrt{5}-\frac{3}{2} + 1 - \sqrt{5} - \dots \) الجزء الأخير غير واضح ويمنع الحل.
- تبسيط b:
\( b = 1 - \frac{6-(1+2\sqrt{5}+5)}{4} = 1 - \frac{6-(6+2\sqrt{5})}{4} = 1 - \frac{-2\sqrt{5}}{4} = 1 + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2+\sqrt{5}}{2} \).
النتيجة التي توصلنا إليها لا تطابق النتيجة المطلوبة (\(b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\)). هناك خطأ في نص التمرين.

سنكمل الحل بافتراض أن \(a = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\) و \(b = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\) صحيحتان.

2) بيّن ان \( 2b = (\sqrt{5}+3)a \):
- الطرف الأيسر: \( 2b = 2(\frac{\sqrt{5}+1}{2}) = \sqrt{5}+1 \).
- الطرف الأيمن: \( (\sqrt{5}+3)a = (\sqrt{5}+3)(\frac{\sqrt{5}-1}{2}) = \frac{5-\sqrt{5}+3\sqrt{5}-3}{2} = \frac{2+2\sqrt{5}}{2} = 1+\sqrt{5} \).
الطرفان متساويان.

3) استنتج ان \( a^2 \in \mathbb{Q} \):
\( a^2 = (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2 = \frac{5-2\sqrt{5}+1}{4} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \).
هذا العدد ليس كسرياً (\( \notin \mathbb{Q} \)) لأنه يحتوي على \( \sqrt{5} \). السؤال خاطئ.