تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح تمرين عدد 1

1. العدد \( 3^{2011} + 3^{2012} + 3^{2013} \):
   نأخذ \(3^{2011}\) كعامل مشترك: $$ 3^{2011} (1 + 3^1 + 3^2) = 3^{2011} (1 + 3 + 9) = 3^{2011} \times 13 $$ هذا العدد يقبل القسمة على 3 وعلى 13. لننظر في الخيارات:
   • 8: لا، لأن العدد فردي.
   • 12: لا، لأن 12 = 3 × 4 والعدد ليس زوجيا فلا يقبل القسمة على 4.
   • 21: لا، لأن 21 = 3 × 7 والعدد لا يقبل القسمة على 7.
   ملاحظة: يبدو أن هناك خطأ في نص السؤال أو في الخيارات المقترحة.
2. العدد \( \frac{\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \):
   نفكك الكسر: $$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 1 - \frac{3\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = 1 - \frac{3\sqrt{6}}{3} = 1 - \sqrt{6} $$ الإجابة الصحيحة هي: \(1-\sqrt{6}\).
3. حساب المسافة AB:
   المسافة بين نقطتين على مستقيم مدرج هي القيمة المطلقة لفرق فاصلتيهما: $$ AB = |(1-\sqrt{2}) - (1+\sqrt{2})| = |1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2}| = |-2\sqrt{2}| $$ $$ AB = 2\sqrt{2} $$ الإجابة الصحيحة هي: \(AB = 2\sqrt{2}\).

تصحيح تمرين عدد 2

1. أ) بيّن أنّ A مقلوب B:
   نحسب الجداء AB: $$ A \times B = (9 - 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 - (4\sqrt{5})^2 $$ $$ = 81 - (16 \times 5) = 81 - 80 = 1 $$ بما أن \(A \times B = 1\)، فإن A هو مقلوب B.
   
   ب) استنتاج علامة A:
   لدينا \( A = 9 - 4\sqrt{5} \). نقارن 9 و \(4\sqrt{5}\).
   \( 9^2 = 81 \) و \( (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80 \).
   بما أن \( 81 > 80 \)، فإن \( 9 > 4\sqrt{5} \). إذن \( 9 - 4\sqrt{5} > 0 \).
   علامة A موجبة.
2. حساب العبارة:
   لدينا \( \frac{1}{B} + \frac{C}{A} + \sqrt{3} + 4\sqrt{5} \).
   بما أن A مقلوب B، فإن \( \frac{1}{B} = A = 9 - 4\sqrt{5} \).
   لنبسط الكسر \( \frac{C}{A} \): $$ C = 4\sqrt{15} - 9\sqrt{3} = \sqrt{3}(4\sqrt{5} - 9) = -\sqrt{3}(9 - 4\sqrt{5}) = -A\sqrt{3} $$ إذن \( \frac{C}{A} = \frac{-A\sqrt{3}}{A} = -\sqrt{3} \).
   نعوض في العبارة الأصلية: $$ (9 - 4\sqrt{5}) + (-\sqrt{3}) + \sqrt{3} + 4\sqrt{5} = 9 - 4\sqrt{5} - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 4\sqrt{5} = 9 $$ الناتج هو 9، وهو عدد صحيح طبيعي.

تصحيح تمرين عدد 3

1. أ) تبيين أنّ \( A = x(x-\sqrt{3}) \):
   ننشر العبارة A: $$ A = x(x-\sqrt{3}) + 2(x-\sqrt{3}) + 2\sqrt{3} - 2x $$ $$ A = x^2 - x\sqrt{3} + 2x - 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2x = x^2 - x\sqrt{3} $$ بأخذ x كعامل مشترك: \( A = x(x - \sqrt{3}) \).
   
   ب) تفكيك \(A+B\): $$ A+B = (x^2 - x\sqrt{3}) + (\sqrt{3}x - 3) = x^2 - x\sqrt{3} + \sqrt{3}x - 3 = x^2 - 3 $$ هذه متطابقة هامة (فرق مربعين): $$ A+B = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) $$
2. حل المعادلة \(A+B=0\):
   \( (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 \).
   هذا يعني أن \( x - \sqrt{3} = 0 \) أو \( x + \sqrt{3} = 0 \).
   إذن الحلول هي \( x = \sqrt{3} \) و \( x = -\sqrt{3} \). مجموعة الحلول في \( \mathbb{R} \) هي \( \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\} \).

تصحيح تمرين عدد 4

1. بيّن أنّ b مقلوب a:
   أولاً نبسط a: $$ a = 9\sqrt{2} + 7 - \sqrt{32} = 9\sqrt{2} + 7 - \sqrt{16 \times 2} = 9\sqrt{2} + 7 - 4\sqrt{2} = 5\sqrt{2} + 7 $$ الآن نحسب الجداء ab: $$ a \times b = (5\sqrt{2} + 7)(5\sqrt{2} - 7) = (5\sqrt{2})^2 - 7^2 $$ $$ = (25 \times 2) - 49 = 50 - 49 = 1 $$ بما أن \( a \times b = 1 \)، فإن b هو مقلوب a.
2. حساب \( a - \frac{1}{a} \):
   بما أن b مقلوب a، فإن \( \frac{1}{a} = b \). إذن المطلوب هو حساب \(a-b\). $$ a - b = (5\sqrt{2} + 7) - (5\sqrt{2} - 7) = 5\sqrt{2} + 7 - 5\sqrt{2} + 7 = 14 $$