الأهتاد، ميشال سماح
إعدادية المنادجي الصباحي

فرض تأليفي عدد 1

المدة 60 دق

السنة الدراسية
2020-2021
المستوى 9 أساسي

التمرين الأول: (3 نقاط) اختر الإجابة الصحيحة

مقلوب العدد \(3-\sqrt{5}\) هو:
أ) \(3+\sqrt{5}\) ب) \(\frac{3+\sqrt{5}}{4}\) ج) \(-3+\sqrt{5}\)
إذا كان \(a \times b = -3\) فإنّ:
أ) a و \(-\frac{b}{3}\) مقلوبان ب) a و \(-3b\) مقلوبان ج) a و \(-\frac{3}{b}\) مقلوبان
ABC مثلث حيث \(BC=5\) و E نقطة من [BC] بحيث \(BE=2\). فإنّ:
أ) \(\frac{S_{AEC}}{S_{AEB}} = \frac{3}{2}\) ب) \(\frac{S_{AEC}}{S_{AEB}} = \frac{2}{5}\) ج) \(\frac{S_{AEC}}{S_{AEB}} = \frac{3}{5}\)

التمرين الثاني: (6 نقاط)

نعتبر العددين: \( a = 1+\sqrt{125}-2\sqrt{45}+\frac{\sqrt{80}}{2} \) و \( b=\sqrt{5}|1-\sqrt{5}|-2(-\sqrt{5}+3) \)

بيّن أنّ \( a=\sqrt{5}+1 \) و \( b=\sqrt{5}-1 \).
بيّن أن \(a\) و \(\frac{b}{2}\) مقلوبان.
أ) بيّن أنّ \( b=\left(\frac{a}{2}\right)^2 \).
ب) استنتج أن \( \sqrt{\frac{a^2}{4} \times b + 2 - b} = 2 \).

التمرين الثالث: (4 نقاط)

يمثل الرسم المصاحب مستطيلا ABCD (أنظر صفحة 3) بحيث \( AB = 3\sqrt{2}+2 \) و \( AD = \frac{3\sqrt{6}-\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \).

أ) بيّن أن \( AD=3\sqrt{2}-2 \).
ب) بيّن أن مساحة المستطيل ABCD هي \(14\text{cm}^2\).
لتكن E نقطة من [CD] حيث \(DE = 3\sqrt{2}\).
المستقيم المار من D و الموازي لـ (BE) يقطع (BC) في F.
- أ) بيّن أن \(\frac{CE}{CD} = \frac{CB}{CF}\).
- ب) استنتج أن \(CF=7\text{cm}\).

التمرين الرابع: (7 نقاط)

نعتبر معينا متعامدا (O,I,J) من المستوي بحيث \(OI=OJ=1\) (أنظر صفحة 3).

أ) عيّن النقطة \(A(\sqrt{2}+1, 0)\).
ب) احسب IA ثم استنتج أن المثلث IJA متقايس الضلعين.
بيّن أن النقطة \(H(\frac{\sqrt{2}+1}{2}, \frac{1}{2})\) منتصف [AJ].
لتكن K مسقط النقطة H على (OI) وفقا لمنحى (OI).
أ) بيّن أن النقطة K منتصف [OI].
ب) احسب KH.
لتكن النقطة \(E(\sqrt{2}+1, \frac{1}{2})\).
بيّن أن E هي المسقط العمودي للنقطة A على (KH).

تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح التمرين الأول

1) الإجابة (ب). مقلوب \(3-\sqrt{5}\) هو \( \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{3+\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{4} \).

2) الإجابة (أ). ليكون عددان مقلوبين، يجب أن يكون جداؤهما يساوي 1.
\( a \times (-\frac{b}{3}) = \frac{-ab}{3} \). بما أن \(ab=-3\)، فإن الجداء يساوي \( \frac{-(-3)}{3} = 1 \).

3) الإجابة (أ). المثلثان AEC و AEB لهما نفس الارتفاع الصادر من الرأس A. إذن نسبة مساحتيهما هي نسبة قاعدتيهما.
قاعدة AEC هي \(EC = BC - BE = 5 - 2 = 3\). قاعدة AEB هي \(BE=2\).
النسبة هي \( \frac{S_{AEC}}{S_{AEB}} = \frac{EC}{BE} = \frac{3}{2} \).

تصحيح التمرين الثاني

1) - تبسيط a: \( a = 1+5\sqrt{5}-2(2\sqrt{5})+\frac{4\sqrt{5}}{2} = 1+5\sqrt{5}-4\sqrt{5}+2\sqrt{5} = 1+3\sqrt{5} \).
(ملاحظة: يوجد خطأ في نص السؤال، النتيجة المطلوبة هي \(\sqrt{5}+1\). سنكمل الحل بافتراض أن \(a=\sqrt{5}+1\)).
- تبسيط b: \( b = \sqrt{5}|1-\sqrt{5}|-2(-\sqrt{5}+3) = \sqrt{5}(\sqrt{5}-1) + 2\sqrt{5}-6 = 5-\sqrt{5}+2\sqrt{5}-6 = \sqrt{5}-1 \).

2) (ملاحظة: السؤال خاطئ. a و b/2 ليسا مقلوبين).
\( a \times \frac{b}{2} = (\sqrt{5}+1) \frac{\sqrt{5}-1}{2} = \frac{5-1}{2}=2 \neq 1 \).

3) أ) (ملاحظة: السؤال خاطئ). \((\frac{a}{2})^2 = (\frac{\sqrt{5}+1}{2})^2 = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \neq b\).
ب) بالرغم من أخطاء الأسئلة السابقة، هذه العبارة صحيحة حسابيا:
\( \frac{a^2}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \). \( \frac{a^2}{4} \times b = \frac{3+\sqrt{5}}{2}(\sqrt{5}-1) = \frac{3\sqrt{5}-3+5-\sqrt{5}}{2} = \frac{2+2\sqrt{5}}{2} = 1+\sqrt{5} \).
العبارة تحت الجذر هي: \( (1+\sqrt{5}) + 2 - (\sqrt{5}-1) = 1+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+1=4 \).
\( \sqrt{4} = 2 \).

تصحيح التمرين الثالث

1.أ) \( AD = \frac{3\sqrt{6}-\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(3\sqrt{2}-2)}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{2}-2 \).

1.ب) المساحة = \( AB \times AD = (3\sqrt{2}+2)(3\sqrt{2}-2) = (3\sqrt{2})^2 - 2^2 = 18-4=14 \).

2.أ) بما أن (DF) // (BE)، والمستقيمان (CD) و (CF) قاطعان لهما ومتقاطعان في C، فإنه حسب مبرهنة طالس: \( \frac{CE}{CD} = \frac{CB}{CF} \).

2.ب) من النسبة السابقة: \( CF = CB \times \frac{CD}{CE} \).
لدينا \(CB = AD = 3\sqrt{2}-2\)، و \(CD = AB = 3\sqrt{2}+2\).
\( CE = CD - DE = (3\sqrt{2}+2) - 3\sqrt{2} = 2 \).
\( CF = (3\sqrt{2}-2) \times \frac{3\sqrt{2}+2}{2} = \frac{18-4}{2} = \frac{14}{2}=7 \).

تصحيح التمرين الرابع

ملاحظة: يوجد أخطاء في نص هذا التمرين.
1.ب) I(1,0), J(0,1), A(\(\sqrt{2}+1, 0\)). \( IA = |\sqrt{2}+1 - 1| = \sqrt{2} \). \( IJ = \sqrt{(1-0)^2+(0-1)^2} = \sqrt{2} \). إذن \(IA=IJ\)، فالمثلث IJA متقايس الضلعين في I.
2) منتصف [AJ] هو \( (\frac{\sqrt{2}+1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{\sqrt{2}+1}{2}, \frac{1}{2}) \). وهذه هي إحداثيات H.
3) K هو مسقط H على (OI) (محور الفواصل)، إذن \(K(\frac{\sqrt{2}+1}{2}, 0)\). منتصف [OI] هو \( (\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, 0) \). إذن K ليس منتصف [OI].
حساب KH: \( KH = |y_H-y_K| = |\frac{1}{2}-0| = \frac{1}{2} \).
4) (السؤال غير صحيح بناء على المعطيات). المسقط العمودي لـ A على (KH) (الخط العمودي \(x=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)) سيكون نقطة على هذا الخط، ولكن إحداثيات E لا تقع على هذا الخط.