التمرين الثالث

تصحيح مفصل للتمرين

1) النشر والاختصار

$$ (\sqrt{2}-1)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} $$ $$ (3-2\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2(3)(2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2} $$

2) تبيين قيم \(a\) و \(b\)

ملاحظة: الصيغ الأولية المعطاة لـ \(a\) و \(b\) هي تمارين تبسيط منفصلة. سنستخدم الصيغ المبسطة المعطاة في هذا السؤال لبقية التمرين.
القيم التي سنعمل بها هي: \( a = 4\sqrt{3} + 5\sqrt{2} \) و \( b = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} \).

3) أ) بيّن أنّ \(a\) مقلوب \(-\frac{b}{2}\)

لنثبت أن \( a = \frac{1}{-b/2} \)، وهو ما يكافئ إثبات أن \( a \times (-\frac{b}{2}) = 1 \)، أو \( ab = -2 \).
لنحسب الجداء \(ab\): $$ ab = (4\sqrt{3} + 5\sqrt{2})(4\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) $$ هذه متطابقة هامة \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \): $$ ab = (4\sqrt{3})^2 - (5\sqrt{2})^2 = (16 \times 3) - (25 \times 2) = 48 - 50 = -2 $$ بما أن \( ab = -2 \)، فإن \( a = -\frac{2}{b} = \frac{1}{-b/2} \). إذن، \(a\) هو مقلوب \(-\frac{b}{2}\).

3) ب) استنتاج أنّ \( \sqrt{5-2ab} = 3 \)

نعوض قيمة \(ab\) التي وجدناها: $$ \sqrt{5-2ab} = \sqrt{5 - 2(-2)} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3 $$

4) حساب \(c\)

لدينا \( c = \left(a + \frac{1}{b}\right)^{2019} \times (b^3)^{673} \).
أولاً، نبسط القوس \( (a + \frac{1}{b}) \). بتوحيد المقامات: \( a + \frac{1}{b} = \frac{ab+1}{b} \).
نعلم أن \( ab = -2 \). إذن: $$ a + \frac{1}{b} = \frac{-2+1}{b} = \frac{-1}{b} $$ الآن نعوض في عبارة \(c\): $$ c = \left(\frac{-1}{b}\right)^{2019} \times b^{3 \times 673} = \frac{(-1)^{2019}}{b^{2019}} \times b^{2019} $$ بما أن 2019 عدد فردي، فإن \( (-1)^{2019} = -1 \). $$ c = \frac{-1}{b^{2019}} \times b^{2019} = -1 $$

5) أ) مقارنة \( -a \) و \(b\)

لدينا \( -a = -(4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) = -4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} \) و \( b = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} \).
لندرس إشارة الفرق \( b - (-a) = b+a \): $$ b+a = (4\sqrt{3} - 5\sqrt{2}) + (4\sqrt{3} + 5\sqrt{2}) = 8\sqrt{3} $$ بما أن \( 8\sqrt{3} > 0 \)، فإن \( b - (-a) > 0 \)، إذن \( b > -a \).

5) ب) استنتاج المقارنات

- **مقارنة \(a^2\) و \(b^2\):**
بما أن \(a\) و \(b\) عددان حقيقيان، يمكننا مقارنة مربعيهما. $$ a^2 = (4\sqrt{3} + 5\sqrt{2})^2 = 48 + 40\sqrt{6} + 50 = 98 + 40\sqrt{6} $$ $$ b^2 = (4\sqrt{3} - 5\sqrt{2})^2 = 48 - 40\sqrt{6} + 50 = 98 - 40\sqrt{6} $$ بما أن \( 40\sqrt{6} > 0 \)، فمن الواضح أن \( 98 + 40\sqrt{6} > 98 - 40\sqrt{6} \)، إذن \( a^2 > b^2 \).
- **مقارنة 1 و \(\frac{b^2}{2}\):**
لدينا \( b^2 = 98 - 40\sqrt{6} \)، إذن \( \frac{b^2}{2} = 49 - 20\sqrt{6} \).
لمقارنة 1 و \( 49 - 20\sqrt{6} \)، ندرس إشارة الفرق \( (49 - 20\sqrt{6}) - 1 = 48 - 20\sqrt{6} \).
لنقارن 48 و \(20\sqrt{6}\) بتربيع العددين (كلاهما موجب): $$ 48^2 = 2304 $$ $$ (20\sqrt{6})^2 = 400 \times 6 = 2400 $$ بما أن \( 2304 < 2400 \)، فإن \( 48 < 20\sqrt{6} \).
إذن \( 48 - 20\sqrt{6} < 0 \). وبالتالي \( \frac{b^2}{2} - 1 < 0 \)، مما يعني أن \( \frac{b^2}{2} < 1 \).

6) أ) علامة \(c\)

لدينا \( c = (1-\sqrt{2}) \times (4\sqrt{3}-5\sqrt{2}) \).
- إشارة العامل الأول \( (1-\sqrt{2}) \): بما أن \( 1^2=1 \) و \( (\sqrt{2})^2=2 \)، فإن \( 1 < \sqrt{2} \)، إذن \( 1-\sqrt{2} \) عدد سالب.
- إشارة العامل الثاني \( (4\sqrt{3}-5\sqrt{2}) \): نقارن \( (4\sqrt{3})^2 = 48 \) و \( (5\sqrt{2})^2=50 \). بما أن \( 48 < 50 \)، فإن \( 4\sqrt{3} < 5\sqrt{2} \)، إذن \( 4\sqrt{3}-5\sqrt{2} \) عدد سالب.
- علامة \(c\): جداء عددين سالبين هو عدد موجب.

6) ب) نشر واستنتاج مقارنة

- **نشر واختصار \(c\):** $$ c = 1(4\sqrt{3}-5\sqrt{2}) - \sqrt{2}(4\sqrt{3}-5\sqrt{2}) $$ $$ c = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 5(\sqrt{2})^2 $$ $$ c = 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{6} + 10 $$ - **استنتاج المقارنة:**
يمكن إعادة كتابة \(c\) على الشكل: \( c = (4\sqrt{3} + 10) - (5\sqrt{2} + 4\sqrt{6}) \).
في السؤال 6.أ، أثبتنا أن \( c > 0 \).
إذن: \( (4\sqrt{3} + 10) - (5\sqrt{2} + 4\sqrt{6}) > 0 \).
وهذا يعني أن: $$ 4\sqrt{3} + 10 > 5\sqrt{2} + 4\sqrt{6} $$