مراجعة عامة

الإعدادية النموذجية - مدنين
الأستاذ: علوان

مراجعة عامة
الثلاثي الأول

التاريخ: 2020 / 2021
الثامنة أساسي

التمرين الأول

أجب بصواب أو خطأ

العدد \( \overline{1234a32} \) حيث الرقم a زوجي، يقبل القسمة على 8.
إذا كان x عددا صحيحا نسبيا حيث \( |-x+1|=4 \) يعني \( x=-3 \) أو \( x=3 \).
\( \left\{ -1 ; \frac{11223344}{8} ; 0 \right\} \not\subset \mathbb{Z} \).
\( |11-|-17||=11-17 \).
العدد \( 10^{2016} - 2016 \) يقبل القسمة على 8.
كل عدد يقبل القسمة على 3 و 6 يقبل القسمة على 18.
\( \{1,5 ; |-\sqrt{9}| ; |-4|\} \not\subset \mathbb{Z} \).
العدد \( 573^2 - 571^2 \) يقبل القسمة على 8.
جذاء كل عددين زوجيين متتاليين، يقبل القسمة على 8.
إذا كان x عددا صحيحا نسبيا سالبا و y عددا صحيحا نسبيا موجبا فإن \( y-x = |y-x| = y-|x| \).
العددان \( |-7|-14 \) و \( -14 - (7) \) هما عددان متقابلان.
ليكن x و y عددين صحيحين نسبيين حيث \( x < y \) و \( A=2x+3-y \) و \( B=7+y \) فإن \( A > B \).
العدد \( 2018^{2017} - 8^{2017} \) يقبل القسمة على 8.
جذاء كل عددين زوجيين متتاليين هو عدد يقبل القسمة على 8.
كل رباعي محدب به زاويتان متتاليتان متكاملتان هو شبه منحرف.
إذا كان x عددا صحيحا سالبا فإن \( | -3x+5 | = 5-3x \).
\( (x+2)(x-3) = (x-3)(x+3) \).
لتكن x و y و z ثلاثة أعداد نسبية حيث \( z < y < x \) فإن \( |2x-y-z| = y+z-2x \).
x و y عددان صحيحان سالبان حيث \( |x| < |y| \) و \( A=2(x+3)-y \) و \( B=4+y \) فإن \( A>B \).

التمرين الثاني

يلي كل سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات، إحداها فقط صحيحة.
اكتب، في كل مرة، على ورقة تحريرك، رقم السؤال و الإجابة الصحيحة الموافقة له.

ليكن x و y عددين صحيحين نسبيين حيث \( y < x \) فإن الكتابة \( |y-x-11| \) تساوي:
أ) \( x+y+11 \) ب) \( y-x+11 \) ج) \( x-y-11 \)
تفكيك العبارة \( A=(2x+8)(x-4)-3x-12 \) إلى جذاء عوامل هو:
أ) \( (x-4)(2x+5) \) ب) \( (x+4)(2x-11) \) ج) \( (x-4)(2x-11) \)
العدد 639541123680 يقبل القسمة على:
أ) 8 و 25 ب) 3 و 4 ج) 2 و 9
القواسم الأولية للعدد \( 5^{103} - 2 \times 5^{100} \) هي:
أ) 5 و 2 ب) 5 و 123 ج) 5 و 3 و 41
اذا كان x و y و z ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية حيث \( z-y=1 \) و \( z-x=-1 \) فإن:
أ) \( x < y < z \) ب) \( y < x < z \) ج) \( y < z < x \)
ليكن a عددا صحيحا نسبيا فإن مقابل العدد \( a-2 \) هو:
أ) \( a+2 \) ب) \( -a-2 \) ج) \( 2-a \)

تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح التمرين الأول (صواب/خطأ)

صواب. لكي يقبل العدد القسمة على 8، يجب أن يكون العدد المكون من آخر 3 أرقام (a32) قابلا للقسمة على 8. بما أن a زوجي، فإن a يمكن أن يكون 0, 2, 4, 6, 8. في كل هذه الحالات (032, 232, 432, 632, 832)، العدد يقبل القسمة على 8.
خطأ. \( |-x+1|=4 \) تعني أن \( -x+1=4 \) (أي \(x=-3\)) أو \( -x+1=-4 \) (أي \(x=5\)). إذن الحلول هي -3 و 5.
خطأ. \( \frac{11223344}{8} = 1402918 \)، وهو عدد صحيح. إذن كل عناصر المجموعة أعداد صحيحة، فالمجموعة محتواة في \( \mathbb{Z} \).
خطأ. الطرف الأيسر: \( |11-|-17|| = |11-17|=|-6|=6 \). الطرف الأيمن: \(11-17=-6\).
صواب. \(10^3=1000\) يقبل القسمة على 8. إذن \(10^k\) يقبل القسمة على 8 لكل \(k \ge 3\). و 2016 يقبل القسمة على 8. فرق عددين يقبلان القسمة على 8 يقبل القسمة على 8.
خطأ. مثال مضاد: العدد 6 يقبل القسمة على 3 و 6، ولكنه لا يقبل القسمة على 18.
صواب. المجموعة هي \( \{1.5, 3, 4\} \). بما أن 1.5 ليس عددا صحيحا، فالمجموعة ليست محتواة في \( \mathbb{Z} \).
صواب. \( 573^2 - 571^2 = (573-571)(573+571) = 2 \times 1144 = 2288 \). و \( 2288 \div 8 = 286 \).
صواب. \( 2n(2n+2) = 4n(n+1) \). بما أن \(n(n+1)\) زوجي دائما، يمكن كتابته \(2k\). إذن الجداء هو \(4(2k)=8k\)، وهو يقبل القسمة على 8.
خطأ. \(|y-x| = y-x\) (لأن y موجب و x سالب، إذن \(y-x>0\)). ولكن \(y-|x|=y-(-x)=y+x\). العبارتان غير متساويتين.
خطأ. العدد الأول هو \(7-14=-7\). العدد الثاني هو \(-14-7=-21\). ليسا متقابلين.
خطأ. \( A-B = (2x+3-y)-(7+y) = 2x-2y-4 = 2(x-y-2) \). بما أن \(x
صواب. \(2018 = 2 \times 1009\). \(2018^k\) يقبل القسمة على 8 لكل \(k \ge 3\). و \(8^{2017}\) يقبل القسمة على 8. إذن الفرق يقبل القسمة على 8.
صواب. (نفس السؤال 9).
صواب. هذه إحدى خصائص شبه المنحرف.
صواب. بما أن x سالب، فإن \(-3x\) موجب، إذن \(-3x+5\) موجب. وبالتالي القيمة المطلقة تساوي العبارة نفسها.
خطأ. الطرف الأيسر \(x^2-x-6\) والطرف الأيمن \(x^2-9\).
خطأ. بما أن \(z 0\). إذن \( |2x-y-z| = 2x-y-z \).
صواب. \(|x|<|y|\) و x,y سالبان تعني \(y0\)، إذن \(x-y+1 > 1\). إذن \(A-B\) موجب.

تصحيح التمرين الثاني (الاختيار من متعدد)

(سؤال غامض) الإجابة تعتمد على قيمة \(x-y\). إذا افترضنا أن \(x-y < 11\) (وهو الافتراض الأكثر شيوعا)، فإن \(y-x-11 < 0\). إذن \( |y-x-11| = -(y-x-11) = -y+x+11 = y-x+11 \). الإجابة (ب) هي الأرجح.
الإجابة (ب). \( A=(2(x+4))(x-4)-3(x+4) = (x+4)[2(x-4)-3] = (x+4)(2x-8-3) = (x+4)(2x-11) \).
(سؤال به خطأ مطبعي) العدد 639541123680 يقبل القسمة على 8 (لأن 680 يقبل على 8) وعلى 3 (مجموع الأرقام 48). إذن يقبل على 4 و 2. لا يقبل على 9 أو 25. الخيار "3 و 4" صحيح.
الإجابة (ج). \( 5^{100}(5^3-2) = 5^{100}(123) = 5^{100} \times 3 \times 41 \). القواسم الأولية هي 5 و 3 و 41.
الإجابة (ج). من \(z-x=-1\) نستنتج \(x=z+1\). من \(z-y=1\) نستنتج \(y=z-1\). إذن الترتيب هو \(y < z < x\).
الإجابة (ج). مقابل العدد \(a-2\) هو \( -(a-2) = -a+2 = 2-a \).