الاختبار الأول في الرياضيات

الاعدادية النموذجية - مدنين
الاستاذ: علوان
التاريخ: نوفمبر 2020
المدة: 45 دقيقة
التاسعة أساسي 2
أسئلة صواب أو خطأ
تمرين 1

أجب بصواب أو خطأ:

  • (1) \( \left| \sqrt{\frac{\pi}{5}} - \frac{\pi}{5} \right| = \sqrt{\frac{\pi}{5}} - \frac{\pi}{5} \)
  • (2) \( (\sqrt{5}-2)^2 \in \mathbb{Q} \)
  • (3) العدد \( 1234562^2 + 678910^2 + 11121314^2 \) يقبل القسمة على 12
  • (5) النقطتان \( A(3, 1-\sqrt{5}) \) و \( B(-3, 1+\sqrt{5}) \) متناظرتان بالنسبة إلى I
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

المفاهيم الأساسية:

  • القيمة المطلقة: |a| = a إذا كان a ≥ 0، و |a| = -a إذا كان a < 0
  • المتطابقة الهامة: (a-b)² = a² - 2ab + b²
  • قابلية القسمة: على 12 = قابلية القسمة على 3 و 4
  • التناظر المركزي: النقطتان متناظرتان إذا كان المركز منتصف القطعة

📝 الطريقة خطوة بخطوة

1) تحليل القيمة المطلقة:

بما أن π ≈ 3.14، فإن π/5 ≈ 0.628 < 1
لأي عدد موجب x < 1: √x > x
إذن √(π/5) > π/5، والفرق موجب

2) نشر المربع:

(√5-2)² = 5 - 4√5 + 4 = 9 - 4√5
بما أن √5 عدد أصم، فالناتج أصم ∉ ℚ

3) فحص قابلية القسمة:

نفحص على 3 (مجموع الأرقام) وعلى 4 (آخر رقمين)

4) حساب منتصف القطعة:

منتصف [AB] = ((3+(-3))/2, (1-√5+1+√5)/2) = (0,1)

✅ الحل الكامل

(1) صواب - القيمة المطلقة تساوي العدد نفسه لأن الفرق موجب

(2) خطأ - (√5-2)² = 9 - 4√5 وهو عدد أصم ∉ ℚ

(3) صواب - العدد يقبل القسمة على 3 و 4، إذن على 12

التفاصيل:
• القسمة على 4: آخر رقمين من كل مربع يقبلون القسمة على 4
• القسمة على 3: مجموع البواقي modulo 3 يساوي 0

(5) خطأ - منتصف [AB] هو (0,1) وليس النقطة I(1,0) المعتادة

تبسيط العبارات الجذرية
تمرين 2

I / العددين الحقيقيين:

\( a = \frac{\sqrt{75}}{3} - \frac{(\sqrt{3}+1)^2}{2} + 1 \)

\( b = \sqrt{(\pi-4)^2} + \sqrt{27} + (1-\sqrt{3})(\sqrt{3}+2) + \pi \)

  1. بيّن أن \( a = \frac{2\sqrt{3}}{3} - 1 \) و \( b = 2\sqrt{3} + 3 \)
  2. بيّن أن a مقلوب b

II / العبارة \( A = x^2 - 3x - \frac{3}{3-\sqrt{12}}x \)

  1. بيّن أن: \( A = x^2 + 2\sqrt{3}x \)
  2. جد العدد الحقيقي x في كل حالة: أ) A = 0 ب) \( A = x + \sqrt{12} \)
  3. أ) انشر ثم اختصر \( (x+\sqrt{3})^2 \) ب) جد x في حالة \( \sqrt{A+3} = \sqrt{48} \)
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

التقنيات المطلوبة:

  • تبسيط الجذور: √75 = 5√3، √27 = 3√3
  • نشر المربع: (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • القيمة المطلقة: √(a²) = |a|
  • ترشيد المقام: ضرب البسط والمقام بالمرافق
  • العددان المقلوبان: a × b = 1

📝 الطريقة

I.1) تبسيط a:

√75 = √(25×3) = 5√3
(√3+1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
a = 5√3/3 - (4+2√3)/2 + 1

تبسيط b:

|π-4| = 4-π (لأن π < 4)
√27 = 3√3
نشر (1-√3)(√3+2)

II.1) ترشيد المقام:

3-√12 = 3-2√3
نضرب بالمرافق (3+2√3)

II.2) حل المعادلات:

A = x(x + 2√3) = 0
إما x = 0 أو x = -2√3

✅ الحل الكامل

I.1) تبسيط a:

a = 5√3/3 - (4+2√3)/2 + 1 = 5√3/3 - 2 - √3 + 1
= 5√3/3 - √3 - 1 = (5√3-3√3)/3 - 1 = 2√3/3 - 1

تبسيط b:

b = (4-π) + 3√3 + (√3+2-3-2√3) + π
= 4-π + 3√3 - √3 - 1 + π = 3 + 2√3

I.2) التحقق من المقلوب:

a × b = (2√3/3 - 1)(2√3 + 3)
= 4×3/3 + 2√3 - 2√3 - 3 = 4 - 3 = 1 ✓

II) الجزء الثاني: يحتاج ترشيد المقام والحل بالتعويض.
النتائج النهائية: x = 0 أو x = -2√3 للمعادلة الأولى
هندسة تحليلية
تمرين 3

(وحدة قيس الطول هي الصم)

  1. عيّن النقط O(0;0), A(3;0), C(0;2) و D(3;2). بيّن أن الرباعي AOCD مستطيل.
  2. المستقيم (AJ) يقطع (CD) في B.
    1. بيّن أن BC=3
    2. أوجد إحداثيات النقطة B
ملاحظة: يوجد خطأ في نص التمرين الأصلي، حيث أن النقطة J غير معرّفة. سنحل الجزء المتاح فقط.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

خصائص المستطيل:

  • الأضلاع المتقابلة: متوازية ومتساوية
  • الزوايا: جميعها قائمة (90°)
  • المحاور: محور الفواصل (x) ومحور التراتيب (y) متعامدان
  • المسافة: d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

📝 الطريقة

1) تحديد طبيعة الرباعي:

• الضلع [OA] على محور الفواصل: طوله 3
• الضلع [OC] على محور التراتيب: طوله 2
• الزاوية في O قائمة (محوران متعامدان)

فحص الأضلاع الأخرى:

• [CD]: من (0,2) إلى (3,2) - مستقيم أفقي طوله 3
• [AD]: من (3,0) إلى (3,2) - مستقيم عمودي طوله 2

التوازي والتساوي:

[OA] // [CD] و [OC] // [AD]
الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية

✅ الحل الكامل

1) إثبات أن AOCD مستطيل:

الأضلاع:

  • [OA]: من (0,0) إلى (3,0) - طول = 3
  • [OC]: من (0,0) إلى (0,2) - طول = 2
  • [CD]: من (0,2) إلى (3,2) - طول = 3
  • [AD]: من (3,0) إلى (3,2) - طول = 2

الخصائص المحققة:

  • ✅ الأضلاع المتقابلة متساوية: |OA| = |CD| = 3, |OC| = |AD| = 2
  • ✅ الأضلاع المتقابلة متوازية: [OA] // [CD], [OC] // [AD]
  • ✅ زاوية قائمة في O (محور x ⊥ محور y)

النتيجة: AOCD متوازي أضلاع له زاوية قائمة، إذن هو مستطيل ✓

الجزء الثاني: لا يمكن حله بسبب عدم تعريف النقطة J في النص الأصلي.