تصحيح مفصل

1) تبسيط a و b:
- لتبسيط a: \( a = \sqrt{49} - \sqrt{12} + 2\sqrt{27} = 7 - \sqrt{4 \times 3} + 2\sqrt{9 \times 3} = 7 - 2\sqrt{3} + 2(3\sqrt{3}) = 7 - 2\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} \).
- لتبسيط b: نقوم بعملية النشر. \( b = (3 \times 1 - 3 \times \sqrt{3} - \sqrt{3} \times 1 + \sqrt{3} \times \sqrt{3}) + 1 = (3 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 1 = 6 - 4\sqrt{3} + 1 = 7 - 4\sqrt{3} \).

2) أ) إثبات أن a مقلوب b:
لإثبات أنهما مقلوبان، يجب أن يكون جداؤهما يساوي 1.
\( a \times b = (7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) \). هذه متطابقة هامة \( (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \).
\( a \times b = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - (16 \times 3) = 49 - 48 = 1 \).
إذن a مقلوب b.

2) ب) حساب \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \):
بما أن a مقلوب b، فإن \( \frac{1}{a} = b \) و \( \frac{1}{b} = a \).
إذن، \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = b - a = (7 - 4\sqrt{3}) - (7 + 4\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 7 - 4\sqrt{3} = -8\sqrt{3} \).

تصحيح مفصل

1) حساب B:
- عندما \( x = \frac{2}{3} \): \( B = (3(\frac{2}{3})-2)(2(\frac{2}{3})-5) - 3(\frac{2}{3})^2 + 2(\frac{2}{3}) = (2-2)(\dots) - 3(\frac{4}{9}) + \frac{4}{3} = 0 - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 0 \).
- عندما \( x = -1 \): \( B = (3(-1)-2)(2(-1)-5) - 3(-1)^2 + 2(-1) = (-5)(-7) - 3(1) - 2 = 35 - 3 - 2 = 30 \).

2) إثبات صيغة B:
ننشر العبارة الأصلية لـ B: \( B = (6x^2 - 15x - 4x + 10) - 3x^2 + 2x = 6x^2 - 19x + 10 - 3x^2 + 2x = 3x^2 - 17x + 10 \).
ننشر الصيغة المطلوبة: \( (3x-2)(x-5) = 3x^2 - 15x - 2x + 10 = 3x^2 - 17x + 10 \).
العبارتان متساويتان.

3) حل المعادلات:
- أ) \(B=0 \implies (3x-2)(x-5) = 0 \). إما \( 3x-2=0 \implies x=\frac{2}{3} \) أو \( x-5=0 \implies x=5 \).
- ب) \(B=A \implies 3x^2 - 17x + 10 = 3x - 2 \implies 3x^2 - 20x + 12 = 0 \).
بإستخدام المميز \( \Delta = (-20)^2 - 4(3)(12) = 400 - 144 = 256 = 16^2 \).
الحلول هي \( x = \frac{20 \pm 16}{6} \). إذن \( x_1 = \frac{36}{6}=6 \) و \( x_2 = \frac{4}{6}=\frac{2}{3} \).

تصحيح مفصل

1) تبسيط a و b:
- \( a = 2 - \sqrt{4 \times 3} + \sqrt{9 \times 3} = 2 - 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 2 + \sqrt{3} \).
- \( b = (\sqrt{6}-\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{6}-2) = \sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+2 = 2-\sqrt{3} \).

2) المقلوب والاستنتاج:
- a مقلوب b لأن \( a \times b = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3=1 \).
- \( \frac{1+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3}{1} = 5+3\sqrt{3} \).
- \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} - \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a} = a-b = (2+\sqrt{3})-(2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} \).

3) تفكيك A:
- أولاً، \( \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1}{a} = b = 2-\sqrt{3} \).
- إذن \( A = (2-\sqrt{3})x + (2-\sqrt{3}) \). بأخذ \( (2-\sqrt{3}) \) كعامل مشترك:
\( A = (2-\sqrt{3})(x+1) \).

تصحيح مفصل

اختصار A:
\( \sqrt{18}=3\sqrt{2}, \sqrt{8}=2\sqrt{2}, \sqrt{50}=5\sqrt{2}, \sqrt{27}=3\sqrt{3}, \sqrt{150}=5\sqrt{6} \)
\( A = 5(3\sqrt{2}) - \sqrt{2}(2\sqrt{2}) + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \frac{3(5\sqrt{6})}{5(3\sqrt{2})} \)
\( = 15\sqrt{2} - 4 + 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \frac{15\sqrt{6}}{15\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} - 4 + 3\sqrt{3} - \sqrt{\frac{6}{2}} \)
\( = 20\sqrt{2} - 4 + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 20\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 4 \).

اختصار B:
\( B = 5(2\sqrt{3}) - 2(6\sqrt{2}) - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{3} - 12\sqrt{2} - 8\sqrt{2} = 10\sqrt{3} - 20\sqrt{2} \).

اختصار C:
\( C = (4\sqrt{3}-4-15+5\sqrt{3}) - (15-\sqrt{5}) = (9\sqrt{3}-19) - 15 + \sqrt{5} = 9\sqrt{3} + \sqrt{5} - 34 \).

اختصار D:
نأخذ \( \sqrt{11} \) كعامل مشترك في البسط: \( D = \frac{\sqrt{11}(\sqrt{11}-\pi)}{\sqrt{11}-\pi} \). نختزل فنحصل على \( D = \sqrt{11} \).

اختصار E:
\( |1-\sqrt{2}| = \sqrt{2}-1 \) لأن \( \sqrt{2}>1 \).
\( |\sqrt{2}+1| = \sqrt{2}+1 \) لأنه موجب.
\( E = (\sqrt{2}-1) - \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}-1 - (2+\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1-2-\sqrt{2} = -3 \).