تمارين متنوعة مع التصحيح

التمرين عدد 8

بيّن أنّ: \( \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = 3-2\sqrt{2} \)، ثم احسب \( A = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} - \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \).
فكك إلى جذاء عوامل العبارة: \( B = \frac{1}{3+2\sqrt{2}}(2x-1) - (3-2\sqrt{2})(x+2) \) حيث x عدد حقيقي.
احسب العبارة B في حالة \( x = 3+\sqrt{2} \).
جد العدد الحقيقي x في كل حالة: أ) \(B=0\) / ب) A و B متقابلان / ج) \(B=3-2\sqrt{2}\) / د) \( \sqrt{A^2}=2\sqrt{3} \) و \(|B|=0\).

التمرين عدد 9

نعتبر العبارتين: \( A = 3x - 2\sqrt{3} \) و \( B = (x+3)(x\sqrt{3}+2)-4x-12 \).

فكك إلى جذاء عوامل العبارة B.
احسب العبارة B في الحالتين: أ) \(x=\sqrt{3}\) / ب) \(x=2-\sqrt{3}\).
جد العدد الحقيقي x في كل حالة: أ) \(A=B\) / ب) A و B متقابلان.

التمرين عدد 10

نعتبر العددين: \( a = \sqrt{81}-\sqrt{20}+2\sqrt{45} \) و \( b=\sqrt{5}(4\sqrt{5}-4)-(2\sqrt{5}-3)(2\sqrt{5}+3) \).

بيّن أنّ: \( a=9+4\sqrt{5} \) و \( b=9-4\sqrt{5} \).
بيّن أنّ a مقلوب b.
بيّن أنّ \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \) هو عدد صحيح يقبل القسمة على 6.
احسب \( |a-b-7\sqrt{5}-3| \).
بيّن أنّ: \( x+1 = \frac{1}{9+4\sqrt{5}}(9x+a+4\sqrt{5}x) \).

التمرين عدد 11

نعتبر العددين: \( a=\sqrt{32}+2\sqrt{12}-\sqrt{50}-\sqrt{27} \) و \( b=\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{6}-\sqrt{3}) \).

أ) بيّن أنّ: \( a=\sqrt{3}-\sqrt{2} \) و \( b=\sqrt{2}+\sqrt{3} \). ب) بيّن أنّ a مقلوب b.
احسب \( |\sqrt{8}-b| - |a(1+b)-1| \) و استنتج أن \( \frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{\sqrt{2}}{b} = 5 \).

التمرين عدد 12

I) نعتبر العددين الحقيقيين: \( a = \sqrt{125} - \frac{1}{2}\sqrt{80} - \frac{\sqrt{45}-3}{\sqrt{20}-2} \) و \( b = \sqrt{(\sqrt{5}-3)^2+(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+3)-\sqrt{9}} \).

بيّن أنّ \( a=\sqrt{5}-2 \) و \( b=\sqrt{5}+2 \).
أ) بيّن أنّ a مقلوب b. ب) بيّن أنّ: \( \frac{\sqrt{5}}{2a}+\frac{\sqrt{5}}{2b} = \sqrt{5} \).

II) ليكن x عدد حقيقي.

بيّن أنّ: \( A = x^2-5x - \frac{\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = x^2+2\sqrt{5}x \).
جد العدد الحقيقي x في كل حالة: أ) \(A=0\) / ب) \(A=x+\sqrt{20}\).
أ) بيّن أنّ \( A+5=(x+\sqrt{5})^2 \). ب) جد العدد الحقيقي x في حالة \( \sqrt{A+5} = \sqrt{45} \).

التمرين عدد 13

بيّن أنّ: \( \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \) هو مقلوب \( \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \).
احسب: \( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+ ... +\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}} \).

التمرين عدد 14

احسب \( (2\sqrt{5}-1)^2 \) و \( (1-\sqrt{5})^2 \).
بيّن أنّ \( \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-\sqrt{21-4\sqrt{5}}}} = 1 \).

تصحيح مفصل للتمارين

- تمرين 8: 1) \( \frac{1}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3-2\sqrt{2}}{9-8} = 3-2\sqrt{2} \). \(A = (3-2\sqrt{2}) - (3+2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2}\). 2) \( B = (3-2\sqrt{2})(2x-1) - (3-2\sqrt{2})(x+2) = (3-2\sqrt{2})(2x-1-x-2) = (3-2\sqrt{2})(x-3) \). 3) \( B = (3-2\sqrt{2})(3+\sqrt{2}-3) = (3-2\sqrt{2})\sqrt{2} = 3\sqrt{2}-4 \). 4) أ) B=0 \(\implies\) x=3. ب) A+B=0 \(\implies -4\sqrt{2}+(3-2\sqrt{2})(x-3)=0\). حلها يعطي x. ج) \(B = 3-2\sqrt{2} \implies x-3=1 \implies x=4\). د) \(\sqrt{A^2}=|A|=|-4\sqrt{2}|=4\sqrt{2} \neq 2\sqrt{3}\). لا يوجد حل.

- تمرين 9: 1) \( B = (x+3)(x\sqrt{3}+2) - 4(x+3) = (x+3)(x\sqrt{3}+2-4) = (x+3)(x\sqrt{3}-2) \). 2) أ) \( B=(\sqrt{3}+3)(3-2)=3+\sqrt{3} \). ب) \( B=(5-\sqrt{3})((2-\sqrt{3})\sqrt{3}-2) = (5-\sqrt{3})(2\sqrt{3}-5) = -(5-\sqrt{3})^2 = -(28-10\sqrt{3}) \). 3) أ) \( 3x-2\sqrt{3}=(x+3)(x\sqrt{3}-2) \). معادلة من الدرجة الثانية. ب) A+B=0 \(\implies 3x-2\sqrt{3}+(x+3)(x\sqrt{3}-2)=0 \).

- تمرين 10: 1) \( a=9-2\sqrt{5}+2(3\sqrt{5})=9+4\sqrt{5} \). \( b=20-4\sqrt{5}-(20-9)=9-4\sqrt{5} \). 2) \( ab = 81-16(5)=1 \). 3) \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} = b+a = 18 \). 18 يقبل القسمة على 6. 4) \( |(9+4\sqrt{5})-(9-4\sqrt{5})-7\sqrt{5}-3| = |8\sqrt{5}-7\sqrt{5}-3|=|\sqrt{5}-3|=3-\sqrt{5} \).

- تمرين 11: 1) \( a=4\sqrt{2}+4\sqrt{3}-5\sqrt{2}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2} \). \( b=\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+\sqrt{2} \). 2) \( ab=3-2=1 \). 3) \(|\sqrt{8}-b| = |2\sqrt{2}-(\sqrt{3}+\sqrt{2})|=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}\). \(|a(1+b)-1|=|a+ab-1|=|a|=a\). العبارة تساوي \( a-a=0 \). (الجزء الثاني من السؤال غير واضح).

- تمرين 12: I.1) \( a=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}-2}=3\sqrt{5}-\frac{3(\sqrt{5}-1)}{2(\sqrt{5}-1)}=3\sqrt{5}-1.5 \). (يوجد خطأ في نص التمرين). بافتراض \( a=\sqrt{5}-2, b=\sqrt{5}+2 \). I.2) \(ab=5-4=1\). \( \frac{\sqrt{5}}{2a}+\frac{\sqrt{5}}{2b} = \frac{\sqrt{5}}{2}(b+a) = \frac{\sqrt{5}}{2}(2\sqrt{5})=5 \). (خطأ في نص التمرين). II.1) \( A=x^2-5x - \frac{\sqrt{5}(-2-\sqrt{5})}{4-5} = x^2-5x+2\sqrt{5}+5 \). (خطأ في نص التمرين). II.2) بناء على المعطيات الصحيحة، الحلول تختلف. II.3) بناء على المعطيات الصحيحة، الحلول تختلف.

- تمرين 13: 1) \( \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(n+1)-n} = \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \). 2) المجموع هو سلسلة تلسكوبية: \( (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + ... + (\sqrt{100}-\sqrt{99}) = -1+\sqrt{100} = -1+10=9 \).

- تمرين 14: 1) \( (2\sqrt{5}-1)^2=20-4\sqrt{5}+1=21-4\sqrt{5} \). \( (1-\sqrt{5})^2 = 1-2\sqrt{5}+5=6-2\sqrt{5} \). 2) \( \sqrt{5-\sqrt{21-4\sqrt{5}}} = \sqrt{5-\sqrt{(2\sqrt{5}-1)^2}} = \sqrt{5-(2\sqrt{5}-1)} = \sqrt{6-2\sqrt{5}} = \sqrt{( \sqrt{5}-1)^2} = \sqrt{5}-1 \). العبارة الكاملة: \( \sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)} = \sqrt{1} = 1 \).