تمرين عدد 2

1) أ) تبيين قيم \(a\) و \(b\)

بالنسبة لـ \(a\):
أولاً، نبسط الجذور: \( \sqrt{81} = 9 \)، \( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)، \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \). $$ a = 9 - (5\sqrt{2} - 9) - 3\sqrt{2} $$ $$ a = 9 - 5\sqrt{2} + 9 - 3\sqrt{2} $$ $$ a = 18 - 8\sqrt{2} $$

بالنسبة لـ \(b\):
باستخدام المتطابقة الهامة \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\): $$ b = (1 + \sqrt{2})^2 = 1^2 + 2(1)(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 $$ $$ b = 1 + 2\sqrt{2} + 2 = 3 + 2\sqrt{2} $$

1) ب) مقارنة \(a\) و \(b\)

لمقارنة عددين، ندرس إشارة فرقهما: $$ a - b = (18 - 8\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) = 18 - 8\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} $$ $$ a - b = 15 - 10\sqrt{2} = 5(3 - 2\sqrt{2}) $$ لمعرفة إشارة \(3 - 2\sqrt{2}\)، نقارن 3 و \(2\sqrt{2}\) بتربيع العددين (لأنهما موجبان):
\( 3^2 = 9 \) و \( (2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8 \).
بما أن \( 9 > 8 \)، فإن \( 3 > 2\sqrt{2} \). إذن \( 3 - 2\sqrt{2} > 0 \).
وبالتالي \( a - b \) موجب، مما يعني أن \( a > b \).

2) أ) تبيين أنّ \( ab = (2 + 3\sqrt{2})^2 \)

$$ ab = (18 - 8\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) $$ $$ ab = 18(3) + 18(2\sqrt{2}) - 8\sqrt{2}(3) - 8\sqrt{2}(2\sqrt{2}) $$ $$ ab = 54 + 36\sqrt{2} - 24\sqrt{2} - 16(2) $$ $$ ab = 54 + 12\sqrt{2} - 32 = 22 + 12\sqrt{2} $$ الآن، لننشر الطرف الثاني من المطلوب: $$ (2 + 3\sqrt{2})^2 = 2^2 + 2(2)(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 $$ $$ = 4 + 12\sqrt{2} + 9(2) = 4 + 12\sqrt{2} + 18 = 22 + 12\sqrt{2} $$ الطرفان متساويان، إذن \( ab = (2 + 3\sqrt{2})^2 \).

2) ب) استنتاج مقارنة بين 18 و \(8\sqrt{2}\)

قيمة \(a = 18 - 8\sqrt{2}\). بما أن \(a\) و \(b\) هما طولان في الجزء الهندسي (HK و HP)، فهما موجبان. لنثبت أن \(a > 0\).
لمقارنة 18 و \(8\sqrt{2}\)، نقارن مربعيهما: $$ 18^2 = 324 $$ $$ (8\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128 $$ بما أن \( 324 > 128 \)، فإن \( 18 > 8\sqrt{2} \).

3) أ) بيّن أنّ \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \in \mathbb{N} \)

$$ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b $$ نعوض بقيم \(a\), \(b\) و \(ab\): $$ = (18 - 8\sqrt{2}) + 2\sqrt{(2 + 3\sqrt{2})^2} + (3 + 2\sqrt{2}) $$ $$ = 18 - 8\sqrt{2} + 2(2 + 3\sqrt{2}) + 3 + 2\sqrt{2} $$ $$ = 18 - 8\sqrt{2} + 4 + 6\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} $$ $$ = (18+4+3) + (-8\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) = 25 + 0 = 25 $$ بما أن 25 عدد صحيح طبيعي، فإن \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \in \mathbb{N} \).

3) ب) استنتج أنّ \( \sqrt{a} = 4 - \sqrt{2} \)

من السؤال السابق، \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 25 \)، إذن \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 5 \) (لأن الجذر موجب).
لدينا \( \sqrt{b} = \sqrt{(1+\sqrt{2})^2} = 1 + \sqrt{2} \).
نعوض قيمة \( \sqrt{b} \) في المعادلة: $$ \sqrt{a} + (1 + \sqrt{2}) = 5 $$ $$ \sqrt{a} = 5 - 1 - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2} $$ للتحقق، نربع الطرفين: \( (\sqrt{a})^2 = a = 18 - 8\sqrt{2} \).
\( (4 - \sqrt{2})^2 = 4^2 - 2(4)\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2} \). النتيجة صحيحة.

4) أ) حساب LI و KP و HP

- **حساب LI:**
G هي مركز ثقل المثلث LPK، و I هي منتصف [KP]. إذن المستقيم (LI) هو متوسط.
نعلم أن مركز الثقل يقع على المتوسط ويبعد عن الرأس بثلثي طول المتوسط. أي \( LG = \frac{2}{3}LI \).
إذن \( LI = \frac{3}{2}LG \). $$ LI = \frac{3}{2}(7 - 2\sqrt{2}) = \frac{21}{2} - 3\sqrt{2} $$ - **حساب KP:**
في المثلث القائم LPK، طول المتوسط المتعلق بالوتر (LI) يساوي نصف طول الوتر (KP).
إذن \( KP = 2 \times LI \). $$ KP = 2 \left( \frac{21}{2} - 3\sqrt{2} \right) = 21 - 6\sqrt{2} $$ - **حساب HP:**
النقط H و K و P تنتمي لنفس المستقيم. لدينا \( KP = HK + HP \). $$ HP = KP - HK = (21 - 6\sqrt{2}) - (3 + 2\sqrt{2}) $$ $$ HP = 21 - 6\sqrt{2} - 3 - 2\sqrt{2} = 18 - 8\sqrt{2} $$

4) ب) استنتج أنّ \( LH = 2 + 3\sqrt{2} \)

في المثلث القائم LPK، لدينا علاقة مترية تقول إن مربع الارتفاع الصادر من الزاوية القائمة يساوي جداء جزئي الوتر. أي: $$ LH^2 = HK \times HP $$ $$ LH^2 = (3 + 2\sqrt{2}) \times (18 - 8\sqrt{2}) $$ نلاحظ أن \( HP = 18 - 8\sqrt{2} = a \) و \( HK = 3 + 2\sqrt{2} = b \).
إذن \( LH^2 = b \times a = ab \).
من السؤال 2.أ، نعلم أن \( ab = (2 + 3\sqrt{2})^2 \).
إذن \( LH^2 = (2 + 3\sqrt{2})^2 \).
بما أن LH طول، فهو موجب. $$ LH = \sqrt{(2 + 3\sqrt{2})^2} = 2 + 3\sqrt{2} $$