تمرين عدد 2

(وحدة قيس الطول هي الصنتيمتر)
Generated code
ملاحظة هامة للتلميذ: يبدو أن نص التمرين الأصلي يحتوي على أخطاء مطبعية في تعريف \(a^2\) و \(b^2\). هذه الأخطاء تجعل بعض الأسئلة غير قابلة للحل بأعداد حقيقية. لكي يكون التمرين منطقياً ومترابطاً، سنقوم بتصحيح هذه القيم انطلاقاً من النتائج التي يطلب التمرين إثباتها. الحل التالي مبني على القيم المصححة التالية: $$ a^2 = 3\sqrt{2} - \sqrt{14} \quad \text{و} \quad b^2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{14} $$ هذه القيم تجعل كل أسئلة التمرين صحيحة ومترابطة.

الجزء I

نعتبر العددين الحقيقيين a و b حيث (باستخدام القيم المصححة):
\( a^2 = 3\sqrt{2} - \sqrt{14} \) و \( b^2 = 3\sqrt{2} + \sqrt{14} \).

  1. احسب \( a^4 - b^4 \) ثم استنتج أن \( a < b \).
  2. احسب \( a^2b^2 \) ثم استنتج أن \( ab = 2 \).
  3. استنتج أن \( a^2 + b^2 = 6\sqrt{2} \).
  4. بيّن أنّ \( a+b = \sqrt{4+6\sqrt{2}} \).

تصحيح مفصل للجزء I (جبر)

1. حساب \( a^4 - b^4 \) والاستنتاج

الخطوة 1: نستخدم المتطابقة الهامة \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \). هنا \(x=a^2\) و \(y=b^2\).
\( a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) \).
الخطوة 2: نحسب كل جزء على حدة.
\( a^2 - b^2 = (3\sqrt{2} - \sqrt{14}) - (3\sqrt{2} + \sqrt{14}) = 3\sqrt{2} - \sqrt{14} - 3\sqrt{2} - \sqrt{14} = -2\sqrt{14} \).
\( a^2 + b^2 = (3\sqrt{2} - \sqrt{14}) + (3\sqrt{2} + \sqrt{14}) = 6\sqrt{2} \).
الخطوة 3: نضرب النتائج.
\( a^4 - b^4 = (6\sqrt{2})(-2\sqrt{14}) = -12\sqrt{2 \times 14} = -12\sqrt{28} = -12\sqrt{4 \times 7} = -12 \times 2\sqrt{7} = -24\sqrt{7} \).
الخطوة 4 (الاستنتاج): لمقارنة a و b، ندرس إشارة \( a^2 - b^2 \).
وجدنا أن \( a^2 - b^2 = -2\sqrt{14} \)، وهو عدد سالب. إذن \( a^2 < b^2 \).
بما أن a و b عددان موجبان (لأن مربعيهما موجبين)، يمكننا استنتاج أن \( a < b \).

2. حساب \( a^2b^2 \) والاستنتاج

الخطوة 1: نضرب العبارتين \( a^2 \) و \( b^2 \).
\( a^2b^2 = (3\sqrt{2} - \sqrt{14})(3\sqrt{2} + \sqrt{14}) \)
الخطوة 2: نلاحظ أنها متطابقة هامة من نوع \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \).
\( a^2b^2 = (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{14})^2 = (9 \times 2) - 14 = 18 - 14 = 4 \).
الخطوة 3 (الاستنتاج): لدينا \( a^2b^2 = 4 \). هذا يعني أن \( (ab)^2 = 4 \).
بما أن a و b عددان موجبان، فإن حاصل ضربهما ab موجب أيضاً. إذن \( ab = \sqrt{4} = 2 \).

3. إثبات أن \( a^2+b^2=6\sqrt{2} \)

هذا السؤال أصبح سهلاً جداً مع القيم المصححة. لقد حسبنا هذا المجموع في السؤال الأول.
\( a^2 + b^2 = (3\sqrt{2} - \sqrt{14}) + (3\sqrt{2} + \sqrt{14}) = 6\sqrt{2} \).

4. إثبات أن \( a+b=\sqrt{4+6\sqrt{2}} \)

الخطوة 1: لحساب \(a+b\)، من الأسهل حساب مربعه أولاً: \( (a+b)^2 \).
\( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)
الخطوة 2: نعوض بالنتائج التي وجدناها في الأسئلة السابقة.
- من السؤال 3، لدينا \( a^2 + b^2 = 6\sqrt{2} \).
- من السؤال 2، لدينا \( ab = 2 \).
إذن، \( (a+b)^2 = (6\sqrt{2}) + 2(2) = 4 + 6\sqrt{2} \).
الخطوة 3: بما أن a و b موجبان، فإن \(a+b\) موجب. يمكننا أخذ الجذر التربيعي.
\( a+b = \sqrt{4+6\sqrt{2}} \). وهو المطلوب.

الجزء II (الحل الهندسي)

في الرسم المقابل لدينا (O,I,J) معين متعامد من المستوي حيث \(OI=OJ=1\).
و \( A(0, a+b) \), \( B(a, a+b) \) و \( C(b, 0) \) ثلاث نقاط من المستوي. (O هي نقطة الأصل (0,0)).

  1. بيّن أنّ OABC شبه منحرف قائم في O و A وأن \(AB=a\) و \(OC=b\).
  2. لتكن E نقطة تقاطع (OB) و (AC). المستقيم الموازي لـ (AB) والمار من E يقطع [AO] في M و يقطع [BC] في N.
    1. بتطبيق مبرهنة طالس بيّن أنّ \( EM = \frac{ab}{a+b} \).
    2. بيّن أنّ \( EN = \frac{ab}{a+b} \).
    3. استنتج أن E منتصف [MN] و \( MN = \frac{4}{\sqrt{4+6\sqrt{2}}} \).
  3. بيّن أنّ مساحة شبه المنحرف OABC تساوي \( 3\sqrt{2} + 2 \).

تصحيح مفصل للجزء II

1. طبيعة الرباعي OABC وأطوال أضلاعه

الخطوة 1: التوازي (شبه منحرف)
- المستقيم (OC) يقع على محور الفواصل (لأن ترتيبة O و C هي 0).
- المستقيم (AB) يصل بين نقطتين لهما نفس الترتيبة (a+b). إذن هو مستقيم أفقي موازٍ لمحور الفواصل.
بما أن المستقيمين (AB) و (OC) كلاهما أفقيان، فهما متوازيان \( (AB) \parallel (OC) \). إذن الرباعي OABC هو شبه منحرف.
الخطوة 2: الزوايا القائمة (شبه منحرف قائم)
- المستقيم (OA) يقع على محور التراتيب (لأن فاصلة O و A هي 0).
- الزاوية في O هي بين (OA) (محور عمودي) و (OC) (محور أفقي). إذن \( \angle AOC = 90^\circ \).
- الزاوية في A هي بين (OA) (محور عمودي) و (AB) (محور أفقي). إذن \( \angle OAB = 90^\circ \).
بما أن له زاويتين قائمتين، فهو شبه منحرف قائم في O و A.
الخطوة 3: حساب الأطوال (بدون قانون المسافة)
- بما أن المستقيم (AB) أفقي، فإن طوله هو القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتي طرفيه: \(AB = |x_B - x_A| = |a - 0| = a\) (لأن a موجب).
- بما أن المستقيم (OC) يقع على محور الفواصل، فإن طوله هو القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتي طرفيه: \(OC = |x_C - x_O| = |b - 0| = b\) (لأن b موجب).

2. تطبيق مبرهنة طالس

أ) حساب EM:
لدينا المستقيمان المتوازيان (AB) و (OC) والمستقيمان المتقاطعان في E وهما (AC) و (OB). هذا يشكل وضعية طالس على شكل "ساعة رملية" أو "فراشة" في المثلثين EAB و EOC.
من التشابه لدينا: \( \frac{EA}{EC} = \frac{EB}{EO} = \frac{AB}{OC} = \frac{a}{b} \).
لنركز على النسبة \( \frac{EA}{EC} = \frac{a}{b} \). هذا يعني أن \( b \cdot EA = a \cdot EC \).
نعلم أن \( AC = EA + EC \). إذن \( EC = AC - EA \).
نعوض: \( b \cdot EA = a \cdot (AC - EA) \implies b \cdot EA = a \cdot AC - a \cdot EA \implies (a+b)EA = a \cdot AC \implies \frac{EA}{AC} = \frac{a}{a+b} \).
الآن، في المثلث AOC، لدينا M على (AO) و E على (AC) والمستقيم (EM) يوازي (OC) (لأنه مواز لـ AB الموازي لـ OC). بتطبيق طالس:
\( \frac{AE}{AC} = \frac{AM}{AO} = \frac{EM}{OC} \).
\( \frac{a}{a+b} = \frac{EM}{b} \implies EM = \frac{ab}{a+b} \).
ب) حساب EN:
بطريقة مماثلة، في المثلث OBC، لدينا E على (OB) و N على (BC) والمستقيم (EN) يوازي (OC). بتطبيق طالس:
\( \frac{BE}{BO} = \frac{BN}{BC} = \frac{EN}{OC} \).
من نسبة الساعة الرملية الأولى، لدينا \( \frac{EB}{EO} = \frac{a}{b} \). وهذا يعني أن \( b \cdot EB = a \cdot EO \).
ونعلم أن \( BO = BE + EO \implies EO = BO - BE \).
نعوض: \( b \cdot EB = a \cdot (BO - BE) \implies (a+b)EB = a \cdot BO \implies \frac{EB}{BO} = \frac{a}{a+b} \).
\( \frac{a}{a+b} = \frac{EN}{b} \implies EN = \frac{ab}{a+b} \).
ج) الاستنتاج:
- بما أن \( EM = EN \)، و M, E, N على استقامة واحدة، فإن E هي منتصف [MN].
- \( MN = EM + EN = 2 \times \frac{ab}{a+b} \).
- من الجزء I، وجدنا أن \( ab=2 \) و \( a+b = \sqrt{4+6\sqrt{2}} \).
- نعوض: \( MN = 2 \times \frac{2}{\sqrt{4+6\sqrt{2}}} = \frac{4}{\sqrt{4+6\sqrt{2}}} \).

3. حساب مساحة شبه المنحرف

مساحة شبه المنحرف تساوي \( \frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2} \).
- القاعدتان المتوازيتان هما [OC] و [AB]. أطوالهما b و a.
- الارتفاع هو المسافة العمودية بين القاعدتين، وهو طول [OA]. بما أن (OA) يقع على محور التراتيب، فإن طوله هو ترتيبة النقطة A، أي \(OA=a+b\).
المساحة = \( \frac{(OC+AB) \times OA}{2} = \frac{(b+a)(a+b)}{2} = \frac{(a+b)^2}{2} \).
من الجزء I، السؤال 4، وجدنا أن \( (a+b)^2 = 4+6\sqrt{2} \).
المساحة = \( \frac{4+6\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{2} + \frac{6\sqrt{2}}{2} = 2 + 3\sqrt{2} \).