تمارين - تصحيح

نعتبر العبارة $A = x^2 - 18x + 1$ حيث x عدد حقيقي.
- أ) بيّن أنّ $A = (x-9)^2 - 80$.
- ب) استنتج أنّ $A = (x-9-4\sqrt{5})(x-9+4\sqrt{5})$.
حل في $ \mathbb{R} $ المعادلة $ (x+1)^2 = 20 $.

التمرين الرابع: (5 نقاط)

(وحدة القيس هي السنتمتر)

في الرسم المقابل لدينا: A و B و C ثلاث نقاط على استقامة واحدة حيث B تنتمي لقطعة المستقيم [AC] و $AB = 6$ و $AC = 8$.
$\mathscr{C}_1$ نصف دائرة قطرها [AB] ومركزها I و $\mathscr{C}_2$ نصف دائرة قطرها [AC] ومركزها O.

الموسط العمودي لقطعة المستقيم [AB] يقطع $\mathscr{C}_1$ في النقطة D.
- أ) أثبت أن المثلث ABD قائم ومتقايس الضلعين في D.
- ب) بيّن أنّ $BD = 3\sqrt{2}$.
المستقيم (AD) يقطع $\mathscr{C}_2$ في نقطة ثانية E.
- أ) بيّن أنّ المثلث AEC قائم ومتقايس الضلعين.
- ب) بيّن أنّ $EC = 4\sqrt{2}$.
المستقيم (BD) يقطع قطعة المستقيم [OE] في النقطة F.
أحسب البعد OF وبيّن أنّ F منتصف قطعة المستقيم [OE].
لتكن النقطة G مركز ثقل المثلث ABD. بيّن أنّ الرباعي EFGD متوازي أضلاع.
لتكن النقطة N منتصف [OA].
- أ) بيّن أنّ النقاط N و G و F على استقامة واحدة.
- ب) أثبت أنّ G منتصف قطعة المستقيم [NF].
لتكن H المسقط العمودي للنقطة G على المستقيم (DN).
أثبت أنّ H تنتمي للمستقيم (BG).

التمرين الخامس: (4 نقاط)

نعتبر العددين: $$ a = (2\sqrt{2})^{-2} \times (-\sqrt{2})^7 + \frac{(\sqrt{6}+\sqrt{12})^2}{\sqrt{18}} \quad , \quad b = \sqrt{68} + |\sqrt{17}-5| $$

بيّن أنّ $ a = 4+2\sqrt{2} $ و $ b = 5+\sqrt{17} $.
أ) بيّن أنّ $ a < b $.
ب) استنتج مقارنة للعددين $ \frac{8}{b} $ و $ \frac{8}{a} $.
أ) بيّن أنّ $ \frac{8}{a} = 4-2\sqrt{2} $ و $ \frac{8}{b} = 5-\sqrt{17} $.
ب) استنتج مقارنة للعددين $ 5+2\sqrt{2} $ و $ 4+\sqrt{17} $.

تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح التمرين الأول (تكملة)

أ) إكمال المربع:
ننشر الطرف الأيمن: $ (x-9)^2 - 80 = (x^2 - 18x + 81) - 80 = x^2 - 18x + 1 $. وهذا يساوي A.
ب) استنتاج التفكيك:
لدينا $ A = (x-9)^2 - 80 $. بما أن $ 80 = 16 \times 5 = (4\sqrt{5})^2 $، فإننا أمام فرق مربعين: $$ A = (x-9)^2 - (4\sqrt{5})^2 = \left( (x-9) - 4\sqrt{5} \right) \left( (x-9) + 4\sqrt{5} \right) $$
حل المعادلة: $ (x+1)^2 = 20 $.
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $ x+1 = \pm\sqrt{20} = \pm 2\sqrt{5} $.
إذن الحلول هي: $ x = -1 + 2\sqrt{5} $ و $ x = -1 - 2\sqrt{5} $.

تصحيح التمرين الرابع

أ) طبيعة المثلث ABD: D تقع على الدائرة التي قطرها [AB]، إذن المثلث ABD قائم في D. بما أن D تقع على الموسط العمودي لـ [AB]، فإن $DA = DB$. إذن المثلث ABD قائم ومتقايس الضلعين في D.
ب) حساب BD: في المثلث القائم والمتقايس الضلعين ABD: $ AB^2 = BD^2 + AD^2 = 2BD^2 $. $$ 6^2 = 2BD^2 \implies 36 = 2BD^2 \implies BD^2 = 18 \implies BD = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$
أ) طبيعة المثلث AEC: E تقع على الدائرة التي قطرها [AC]، إذن المثلث AEC قائم في E. الزاوية $ \angle DAB = 45^\circ $ لأن ABD متقايس الضلعين. إذن $ \angle EAC = 45^\circ $. في المثلث القائم AEC، تكون الزاوية الأخرى $ \angle ACE = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ $. إذن المثلث AEC قائم ومتقايس الضلعين في E.
ب) حساب EC: $ AC^2 = EC^2 + AE^2 = 2EC^2 $. $$ 8^2 = 2EC^2 \implies 64 = 2EC^2 \implies EC^2 = 32 \implies EC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$
حساب OF ومنتصف [OE]: (نستعمل معلماً مساعداً A(0,0))
A(0,0)، B(6,0)، C(8,0)، O(4,0). النقطة D على الموسط العمودي لـ [AB] (الخط x=3) وعلى الدائرة $\mathscr{C}_1$، إذن D(3,3). الخط (AD) هو $y=x$. يقطع الدائرة $\mathscr{C}_2$ في E(4,4).
الخط (BD) يمر بـ B(6,0) و D(3,3)، معادلته $y=-x+6$. الخط (OE) يمر بـ O(4,0) و E(4,4)، معادلته $x=4$.
نقطة تقاطعهما F هي: $ y = -4+6 = 2 $. إذن F(4,2).
المسافة $OF = \sqrt{(4-4)^2 + (2-0)^2} = 2$.
منتصف [OE] هو $ (\frac{4+4}{2}, \frac{0+4}{2}) = (4,2) $، وهي النقطة F.
طبيعة EFGD: G مركز ثقل ABD، إذن G(3,1). لدينا D(3,3)، E(4,4)، F(4,2).
المتجهة $ \vec{DG} = (3-3, 1-3) = (0,-2) $. المتجهة $ \vec{EF} = (4-4, 2-4) = (0,-2) $.
بما أن $ \vec{DG} = \vec{EF} $، فإن EFGD متوازي أضلاع.
أ) استقامة N, G, F: N منتصف [OA]. A(0,0), O(4,0) إذن N(2,0). لدينا G(3,1) و F(4,2).
ميل (NG) هو $\frac{1-0}{3-2}=1$. ميل (GF) هو $\frac{2-1}{4-3}=1$. بما أن لهما نفس الميل ويشتركان في النقطة G، فالنقاط N, G, F على استقامة واحدة.
ب) G منتصف [NF]: منتصف [NF] هو $ (\frac{2+4}{2}, \frac{0+2}{2}) = (3,1) $، وهي إحداثيات G.
H على (BG): المستقيم (DN) يمر بـ D(3,3) و N(2,0)، ميله 3. المستقيم (BG) يمر بـ B(6,0) و G(3,1)، ميله $-\frac{1}{3}$.
جداء الميلين هو $ 3 \times (-\frac{1}{3}) = -1 $، إذن (DN) ⊥ (BG).
بما أن H هو المسقط العمودي لـ G على (DN)، ووجدنا أن المستقيم (BG) هو المستقيم العمودي على (DN) المار من G، فإن H تنتمي بالضرورة للمستقيم (BG).

تصحيح التمرين الخامس

تبسيط a و b:
$ a = \frac{1}{(2\sqrt{2})^2} \times (-(\sqrt{2})^7) + \frac{6+2\sqrt{72}+12}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{8}(-8\sqrt{2}) + \frac{18+12\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -\sqrt{2} + \frac{6}{\sqrt{2}} + 4 = -\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + 4 = 4+2\sqrt{2} $.
$ b = \sqrt{4 \times 17} + (5-\sqrt{17}) = 2\sqrt{17} + 5 - \sqrt{17} = 5+\sqrt{17} $.
أ) مقارنة a و b: $ b-a = (5+\sqrt{17}) - (4+2\sqrt{2}) = 1 + \sqrt{17} - 2\sqrt{2} $. نقارن $1+\sqrt{17}$ و $2\sqrt{2}$. بتربيع الطرفين (كلاهما موجب): $ (1+\sqrt{17})^2 = 18+2\sqrt{17} $ و $ (2\sqrt{2})^2=8 $. بما أن $18+2\sqrt{17} > 8$، فإن $b-a>0$، إذن $ a < b $.
ب) استنتاج: بما أن $a < b$ وكلاهما موجب، فإن $ \frac{1}{a} > \frac{1}{b} $، وبالتالي $ \frac{8}{a} > \frac{8}{b} $.
أ) حساب المقلوب: $ \frac{8}{a} = \frac{8}{4+2\sqrt{2}} = \frac{4}{2+\sqrt{2}} = \frac{4(2-\sqrt{2})}{4-2} = 2(2-\sqrt{2}) = 4-2\sqrt{2} $.
$ \frac{8}{b} = \frac{8}{5+\sqrt{17}} = \frac{8(5-\sqrt{17})}{25-17} = \frac{8(5-\sqrt{17})}{8} = 5-\sqrt{17} $.
ب) استنتاج مقارنة: نقارن $X=5+2\sqrt{2}$ و $Y=4+\sqrt{17}$. ندرس $X-Y = 1+2\sqrt{2}-\sqrt{17}$. نقارن $1+2\sqrt{2}$ و $\sqrt{17}$. بتربيع الطرفين: $ (1+2\sqrt{2})^2 = 9+4\sqrt{2} $ و $ (\sqrt{17})^2 = 17 $. نقارن $9+4\sqrt{2}$ و 17، أي نقارن $4\sqrt{2}$ و 8. لدينا $ (4\sqrt{2})^2=32 $ و $ 8^2=64 $. إذن $4\sqrt{2} < 8 \implies 9+4\sqrt{2} < 17 $. وبالتالي $1+2\sqrt{2} < \sqrt{17}$، مما يعني أن $X-Y < 0$. إذن $ 5+2\sqrt{2} < 4+\sqrt{17} $.