تصحيح تمارين شاملة

التمرين الأول

تبسيط وحل معادلات

\( E = (a+\frac{4}{3}) - (b-a-1) + (-1-a) \)
\( F = [(a-\frac{3}{2}) - b] - [-(a-\frac{1}{2}) - (b-a)] - (1-b) \)
  1. بيّن أن \( E=a-b+\frac{4}{3} \) و \( F=a+b-3 \).
  2. إذا علمت أن \(E=F\) بيّن أن \( b = \frac{13}{6} \).
  3. أوجد a إذا علمت أن E و F متقابلان.

1) تبسيط E:
\( E = a+\frac{4}{3} -b+a+1 -1-a = a - b + \frac{4}{3} \)

1) تبسيط F:
\( F = a-\frac{3}{2} - b - (-b+\frac{1}{2}) - 1+b = a+b-3 \)

2) حل \(E=F\):
\( a-b+\frac{4}{3} = a+b-3 \implies -b+\frac{4}{3} = b-3 \implies \frac{13}{3} = 2b \implies b=\frac{13}{6} \)

3) حل \(E+F=0\):
\( a-b+\frac{4}{3} = -(a+b-3) \implies a+\frac{4}{3} = -a+3 \implies 2a=3-\frac{4}{3} \implies a=\frac{5}{6} \)

التمرين الثاني

اختصار ونشر العبارات

  1. اختصر العبارات التالية: \( a, b, c, d, e \).
  2. انشر ثم اختصر العبارة A.

أ) \( a = (\frac{1}{3} - 1)\sqrt{5} = -\frac{2}{3}\sqrt{5} \).

ب) \( b = 1 \times 2 - 2 = 0 \).

ج) \( c = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \).

د) d = |(-\sqrt{2}-5)(\pi - 1)| = |...سالب...| = (\sqrt{2}+5)(\pi-1) .

هـ) e = \sqrt{(3-\pi)^2} = |3-\pi| = |...سالب...| = \pi - 3 .

نشر A: \( A = 6x^2 - 4xy - 2x + 4y \)

التمرين الثالث

متقابلان ومقلوبان

\( a=3(1-\sqrt{3}) \),   \( b=\sqrt{3}(3-\sqrt{3}) \)
\( c=\sqrt{6}-\sqrt{5} \),   \( d=\sqrt{600}-\sqrt{486}+\sqrt{5} \)
  1. تحقق أن \(d = \sqrt{6}+\sqrt{5}\).
  2. ماذا تستنتج بالنسبة لـ a و b؟ وماذا تستنتج بالنسبة لـ c و d؟
  3. احسب: \(|1-\sqrt{3}|\), \(|\sqrt{6}-\sqrt{5}|\), \(\frac{1}{d}+\frac{1}{c}\).

1) \( d = 10\sqrt{6} - 9\sqrt{6} + \sqrt{5} = \sqrt{6}+\sqrt{5} \)

2) أ) \( a+b = (3 - 3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3} - 3) = 0 \). إذن a و b متقابلان.

2) ب) \( c \times d = (\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5}) = 6-5=1 \). إذن c و d مقلوبان.

3) حسابات: \(|1-\sqrt{3}| = \sqrt{3}-1\). \(|\sqrt{6}-\sqrt{5}| = \sqrt{6}-\sqrt{5}\). \(\frac{1}{d}+\frac{1}{c} = c+d = 2\sqrt{6}\)

التمرين الرابع

مستقيم مدرج

ليكن \(\Delta\) مستقيم مدرج بالمعين \((O,I)\).

  1. عين النقاط: \(A(3)\), \(B(-\sqrt{2})\), \(C(-2)\).
  2. احسب الأبعاد AB و BC.
  3. لتكن M منتصف [AC]. ما هي فاصلتها؟

2) الأبعاد:
\( AB = |x_B - x_A| = |-\sqrt{2} - 3| = \sqrt{2}+3 \).
\( BC = |x_C - x_B| = |-2 - (-\sqrt{2})| = |-2+\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2} \).

3) فاصلة المنتصف M: \( x_M = \frac{x_A+x_C}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2} \).