التمرين الثالث (6 نقاط)

I) نعتبر العبارة $ E = x^2 + \sqrt{6}x - 3 $ حيث x عدد حقيقي.

أحسب القيمة العددية للعبارة E في كل من الحالتين: $ x=\sqrt{3} $ ثم $ x = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} $.
- أ- بيّن أنّ $ x^2 + \sqrt{6}x - 3 = \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} $.
- ب- استنتج $ E = \left(x+\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}\right) \left(x+\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}\right) $.
- ج- حل في $ \mathbb{R} $ المعادلة $E=0$.

II) في الشكل المقابل:

ABC مثلث قائم الزاوية في A.
$ AB = \sqrt{3} $ و $ AC = \sqrt{6} $.
H المسقط العمودي لـ A على (BC).

احسب BC ثم استنتج $ AH=\sqrt{2} $.
لتكن M نقطة من الضلع [AC] مخالفة لـ A و C، و K المسقط العمودي لـ M على (BC) و $AM=x$.
- أ- أعط حصرًا لـ x.
- ب- بيّن أن $ \frac{CM}{CA} = \frac{MK}{AH} $ واستنتج $ MK=\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{3}} $.
- أ- احسب $BM^2$ بدلالة x، ثم بيّن أنّ $ BK^2 = \frac{1}{3}(2x^2+2\sqrt{6}x+3) $.
- ب- أوجد x إذا كان $ BK=\sqrt{3} $.

تصحيح مفصل للتمرين

تصحيح الجزء الأول (I)

حساب قيمة E:
- في حالة $x=\sqrt{3}$: $ E = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{6}(\sqrt{3}) - 3 = 3 + \sqrt{18} - 3 = 3\sqrt{2} $.
- في حالة $x = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$: هذه القيمة هي أحد حلول المعادلة $E=0$ (من السؤال 2.ج)، إذن $E=0$.
أ) إثبات المتطابقة:
ننشر الطرف الأيمن: $$ \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} = x^2 + 2(x)\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} $$ $$ = x^2 + \sqrt{6}x + \frac{6}{4} - \frac{9}{2} = x^2 + \sqrt{6}x + \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = x^2 + \sqrt{6}x - \frac{6}{2} = x^2 + \sqrt{6}x - 3 = E $$
ب) استنتاج تفكيك E:
لدينا $ E = \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} $. نلاحظ أن $ \frac{9}{2} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 $.
إذن $ E $ على شكل فرق مربعين $ A^2 - B^2 $: $$ E = \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \left(x+\frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) $$ $$ E = \left(x+\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2}\right) \left(x+\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2}\right) $$
ج) حل المعادلة E=0:
$ E = 0 $ يعني أن أحد العاملين يساوي صفر.
إما $ x+\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} $
أو $ x+\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2} = 0 \implies x = -\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2} $

تصحيح الجزء الثاني (II)

حساب BC و AH:
في المثلث ABC القائم في A، حسب مبرهنة فيثاغورس: $$ BC^2 = AB^2 + AC^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{6})^2 = 3 + 6 = 9 \implies BC = 3 $$ لحساب الارتفاع AH، نستخدم مساحة المثلث: $ \text{Area} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot AH $. $$ (\sqrt{3})(\sqrt{6}) = (3)(AH) \implies \sqrt{18} = 3 \cdot AH \implies 3\sqrt{2} = 3 \cdot AH \implies AH = \sqrt{2} $$
أ) حصر x:
M نقطة من القطعة [AC] طولها $AC = \sqrt{6}$، و M مخالفة لـ A و C. إذن $ 0 < AM < \sqrt{6} $، أي $ 0 < x < \sqrt{6} $.
ب) استنتاج MK:
لدينا (MK) ⊥ (BC) و (AH) ⊥ (BC)، إذن (MK) // (AH).
بتطبيق مبرهنة طالس في المثلث CAH (مع المستقيمين المتوازيين (MK) و (AH)) نجد: $$ \frac{CM}{CA} = \frac{CK}{CH} = \frac{MK}{AH} $$ من النسبة الأولى والأخيرة: $ MK = AH \times \frac{CM}{CA} $.
لدينا $ CM = CA - AM = \sqrt{6} - x $. $$ MK = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{6}-x}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{6}}\right) = \sqrt{2} - \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{2} - \frac{x}{\sqrt{3}} $$
أ) حساب $BM^2$ و $BK^2$:
في المثلث القائم ABM (قائم في A لأن M على [AC]): $ BM^2 = AB^2 + AM^2 = (\sqrt{3})^2 + x^2 = 3+x^2 $.
في المثلث القائم BKM (قائم في K): $ BM^2 = BK^2 + MK^2 $. إذن $ BK^2 = BM^2 - MK^2 $. $$ BK^2 = (3+x^2) - \left(\sqrt{2}-\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3+x^2 - \left(2 - \frac{2x\sqrt{2}}{\sqrt{3}} + \frac{x^2}{3}\right) $$ $$ BK^2 = 3+x^2 - 2 + \frac{2x\sqrt{6}}{3} - \frac{x^2}{3} = 1 + \frac{2\sqrt{6}}{3}x + \frac{2x^2}{3} $$ بأخذ $\frac{1}{3}$ كعامل مشترك: $ BK^2 = \frac{1}{3}(3 + 2\sqrt{6}x + 2x^2) $. وهو المطلوب.
ب) إيجاد x:
إذا كان $ BK=\sqrt{3} $، فإن $ BK^2 = 3 $. $$ \frac{1}{3}(2x^2 + 2\sqrt{6}x + 3) = 3 \implies 2x^2 + 2\sqrt{6}x + 3 = 9 $$ $$ 2x^2 + 2\sqrt{6}x - 6 = 0 \implies x^2 + \sqrt{6}x - 3 = 0 $$ هذه هي المعادلة $E=0$ من الجزء الأول.
حلولها هي $ x = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} $ و $ x = -\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{2} $.
بما أن x طول موجب ($0 < x < \sqrt{6}$)، فإن الحل السالب مرفوض.
الحل المقبول هو $ x = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} $.