التمرين الرابع

أ) حساب AC

الفكرة: بما أن النقطة A تنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}\)) التي قطرها [BC]، فإن المثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية في A.
الخطوة 1: نطبق مبرهنة فيثاغورس في المثلث ABC القائم في A.
\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
الخطوة 2: نعوض بالقيم المعلومة: \(AB=6\) و \(BC=8\).
\( 6^2 + AC^2 = 8^2 \)
\( 36 + AC^2 = 64 \)
الخطوة 3: نحل المعادلة لإيجاد \(AC^2\).
\( AC^2 = 64 - 36 = 28 \)
الخطوة 4: نحسب AC.
\( AC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \, \text{cm} \).

ب) و ج) حساب AD و CD

الفكرة: لدينا مستقيم (CD) مماس للدائرة في C، إذن هو عمودي على القطر [BC]. هذا يعني أن المثلث BCD قائم الزاوية في C. كذلك، المثلث ABC قائم في A. بما أن المثلثين يشتركان في الزاوية \(\angle B\)، فإنهما متشابهان.
الخطوة 1: استخدام تشابه المثلثين ABC و CBD
بما أن المثلثين ABC و CBD قائمان (في A و C على التوالي) ويشتركان في الزاوية \(\angle B\)، فإنهما متشابهان. من التشابه نستنتج تساوي النسب التالية:
\( \frac{BA}{BC} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD} \)
الخطوة 2: حساب BD ثم استنتاج AD (إجابة ب)
نأخذ الجزء الأول من النسبة: \( \frac{BA}{BC} = \frac{BC}{BD} \).
\( \frac{6}{8} = \frac{8}{BD} \)
باستخدام الجداء المتقاطع: \( 6 \times BD = 8 \times 8 = 64 \).
\( BD = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \)
النقاط A, B, D على استقامة واحدة، إذن \( AD = BD - AB \).
\( AD = \frac{32}{3} - 6 = \frac{32 - 18}{3} = \frac{14}{3} \, \text{cm} \). وهو المطلوب.
الخطوة 3: حساب CD (إجابة ج)
نأخذ جزءاً آخر من النسبة: \( \frac{BA}{BC} = \frac{AC}{CD} \).
\( \frac{6}{8} = \frac{2\sqrt{7}}{CD} \)
\( 6 \times CD = 8 \times 2\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \)
\( CD = \frac{16\sqrt{7}}{6} = \frac{8\sqrt{7}}{3} \, \text{cm} \).