نعتبر دائرة (\(\mathcal{C}\)) قطرها [BC] ومركزها O حيث \(BC=8\text{cm}\). عين نقطة A من الدائرة (\(\mathcal{C}\)) حيث \(AB=6\text{cm}\). المماس للدائرة (\(\mathcal{C}\)) في النقطة C يقطع (AB) في نقطة D.
الفكرة: بما أن النقطة A تنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}\)) التي قطرها [BC]، فإن المثلث ABC هو مثلث قائم الزاوية في A.
الخطوة 1: نطبق مبرهنة فيثاغورس في المثلث ABC القائم في A.
\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
الخطوة 2: نعوض بالقيم المعلومة: \(AB=6\) و \(BC=8\).
\( 6^2 + AC^2 = 8^2 \)
\( 36 + AC^2 = 64 \)
الخطوة 3: نحل المعادلة لإيجاد \(AC^2\).
\( AC^2 = 64 - 36 = 28 \)
الخطوة 4: نحسب AC.
\( AC = \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \, \text{cm} \).
الفكرة: لدينا مستقيم (CD) مماس للدائرة في C، إذن هو عمودي على القطر [BC]. هذا يعني أن المثلث BCD قائم الزاوية في C. كذلك، المثلث ABC قائم في A. بما أن المثلثين يشتركان في الزاوية \(\angle B\)، فإنهما متشابهان.
الخطوة 1: استخدام تشابه المثلثين ABC و CBD
بما أن المثلثين ABC و CBD قائمان (في A و C على التوالي) ويشتركان في الزاوية \(\angle B\)، فإنهما متشابهان. من التشابه نستنتج تساوي النسب التالية:
\( \frac{BA}{BC} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{CD} \)
الخطوة 2: حساب BD ثم استنتاج AD (إجابة ب)
نأخذ الجزء الأول من النسبة: \( \frac{BA}{BC} = \frac{BC}{BD} \).
\( \frac{6}{8} = \frac{8}{BD} \)
باستخدام الجداء المتقاطع: \( 6 \times BD = 8 \times 8 = 64 \).
\( BD = \frac{64}{6} = \frac{32}{3} \)
النقاط A, B, D على استقامة واحدة، إذن \( AD = BD - AB \).
\( AD = \frac{32}{3} - 6 = \frac{32 - 18}{3} = \frac{14}{3} \, \text{cm} \). وهو المطلوب.
الخطوة 3: حساب CD (إجابة ج)
نأخذ جزءاً آخر من النسبة: \( \frac{BA}{BC} = \frac{AC}{CD} \).
\( \frac{6}{8} = \frac{2\sqrt{7}}{CD} \)
\( 6 \times CD = 8 \times 2\sqrt{7} = 16\sqrt{7} \)
\( CD = \frac{16\sqrt{7}}{6} = \frac{8\sqrt{7}}{3} \, \text{cm} \).
الفكرة: سنثبت أولاً أن المثلث ACD قائم الزاوية في A، ثم نستخدم خاصية المتوسط المتعلق بالوتر.
الخطوة 1: التحقق من طبيعة المثلث ACD
نستخدم مبرهنة فيثاغورس العكسية. نحسب مربع كل ضلع:
- \( AC^2 = 28 \)
- \( AD^2 = (\frac{14}{3})^2 = \frac{196}{9} \)
- \( CD^2 = (\frac{8\sqrt{7}}{3})^2 = \frac{64 \times 7}{9} = \frac{448}{9} \)
نجمع مربعي الضلعين الأقصر:
\( AC^2 + AD^2 = 28 + \frac{196}{9} = \frac{28 \times 9 + 196}{9} = \frac{252+196}{9} = \frac{448}{9} \)
نلاحظ أن \( AC^2 + AD^2 = CD^2 \). إذن، المثلث ACD قائم الزاوية في A.
الخطوة 2: حساب AI
في المثلث ACD القائم في A، الضلع [AI] هو المتوسط المتعلق بالوتر [CD] (لأن I منتصف [CD]). طول المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.
\( AI = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{7}}{3} = \frac{4\sqrt{7}}{3} \, \text{cm} \).
الخطوة 1: تحديد الزوايا القائمة والتوازي
- من السؤال السابق، أثبتنا أن المثلث ACD قائم في A، إذن \( \angle CAD = 90^\circ \).
- من المعطيات، المستقيم (CE) عمودي على (AC)، إذن \( \angle ACE = 90^\circ \).
- بما أن المستقيمين (AD) و (CE) كلاهما عمودي على نفس المستقيم (AC)، فإنهما متوازيان: \( (AD) \parallel (CE) \).
الخطوة 2: إثبات أن ADEC متوازي أضلاع
لدينا \( (AD) \parallel (CE) \). ولدينا المستقيمان (AE) و (CD) يتقاطعان في I. يمكن تطبيق مبرهنة طاليس في المثلثين ADI و ECI (شكل الفراشة).
\( \frac{IA}{IE} = \frac{ID}{IC} = \frac{AD}{CE} \)
بما أن I منتصف [CD]، فإن \( ID = IC \)، وبالتالي \( \frac{ID}{IC} = 1 \).
من هذا نستنتج أن \( \frac{AD}{CE} = 1 \)، مما يعني أن \( AD = CE \).
إذن، الرباعي ADEC له ضلعان متقابلان (AD و CE) متوازيان ومتقايسان. هذا يثبت أن ADEC متوازي أضلاع.
الخطوة 3: الاستنتاج
بما أن متوازي الأضلاع ADEC له زاوية قائمة (\(\angle CAD = 90^\circ\))، فهو مستطيل.
الفكرة: سنثبت أن G هي مركز ثقل المثلث BCD.
الخطوة 1: في المثلث BCD:
- O هي منتصف الضلع [BC] (لأنها مركز الدائرة التي قطرها [BC]). إذن [DO] هو متوسط في المثلث BCD.
- I هي منتصف الضلع [CD] (حسب المعطيات). إذن [BI] هو متوسط في المثلث BCD.
الخطوة 2: النقطة G هي نقطة تقاطع المتوسطين [DO] و [BI]. إذن، G هي مركز ثقل المثلث BCD.
الخطوة 3: المستقيم المار من الرأس C ومركز الثقل G هو المتوسط الثالث للمثلث BCD. هذا المتوسط يقطع الضلع المقابل [BD] في منتصفه.
الخطوة 4: المستقيم (CG) يقطع (AD) في F. بما أن النقاط B, A, D على استقامة واحدة، فإن المستقيم (AD) هو نفسه المستقيم (BD).
إذن، F هي نقطة تقاطع المتوسط (CG) بالضلع (BD)، وبالتالي F هي منتصف [BD].
الفكرة: سنثبت أن [BI] هو متوسط في المثلث AEB وأن G تقسمه بنسبة 2:1.
الخطوة 1: إثبات أن [BI] متوسط في المثلث AEB
- من السؤال 2.ب، أثبتنا أن ADEC مستطيل.
- من خصائص المستطيل أن قطريه [AE] و [CD] ينصف كل منهما الآخر. أي أنهما يتقاطعان في نفس نقطة المنتصف.
- نحن نعلم أن I هي منتصف القطر [CD] (حسب المعطيات).
- إذن، I هي أيضاً منتصف القطر [AE].
- في المثلث AEB، بما أن I هي منتصف الضلع [AE]، فإن المستقيم [BI] هو متوسط في المثلث AEB.
الخطوة 2: تحديد موقع G على المتوسط [BI]
- من السؤال 3.أ، أثبتنا أن G هي مركز ثقل المثلث BCD.
- [BI] هو أيضاً متوسط في المثلث BCD.
- من خصائص مركز الثقل، نعلم أن G تقع على المتوسط [BI] وتقسمه بحيث \( BG = \frac{2}{3} BI \).
الخطوة 3: الاستنتاج
لقد أثبتنا أن G تنتمي إلى المتوسط [BI] للمثلث AEB، وأنها تقسم هذا المتوسط بنسبة 2 إلى 1 (انطلاقاً من الرأس B). هذه هي الخاصية التي تعرف مركز الثقل.
إذن، G هي مركز ثقل المثلث AEB.
الفكرة: سنستخدم خاصية الزاوية المحيطية التي تقابل قطراً في دائرة.
الخطوة 1: النقطة H تنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}\)) التي قطرها [BC].
إذن، المثلث BHC قائم الزاوية في H. وهذا يعني أن المستقيم (CH) عمودي على (BH): \( (CH) \perp (BH) \).
الخطوة 2: النقطة H تنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}'\)) التي قطرها [CE].
إذن، المثلث CHE قائم الزاوية في H. وهذا يعني أن المستقيم (CH) عمودي على (EH): \( (CH) \perp (EH) \).
الخطوة 3: من نقطة H، يوجد مستقيم واحد فقط عمودي على (CH). بما أن (BH) و (EH) كلاهما عمودي على (CH) ويمران من H، فإنهما نفس المستقيم.
هذا يعني أن النقاط B و H و E تقع على استقامة واحدة. إذن، \( H \in (BE) \).
الفكرة: سنثبت أن هذه المستقيمات الثلاثة هي ارتفاعات المثلث BCE.
الخطوة 1: تحديد طبيعة المستقيم (CH)
في المثلث BCE، (CH) هو المستقيم المار من الرأس C. من السؤال (4.أ)، أثبتنا أن (CH) عمودي على (BH)، وبما أن B, H, E على استقامة واحدة، فإن (CH) عمودي على الضلع (BE).
إذن، (CH) هو الارتفاع الصادر من C في المثلث BCE.
الخطوة 2: تحديد طبيعة المستقيم (BK)
النقطة K تنتمي للمستقيم (CE) وتنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}\)) التي قطرها [BC].
إذن، المثلث BKC قائم في K، مما يعني أن \( (BK) \perp (KC) \).
بما أن K تنتمي لـ (CE)، فإن (KC) هو نفسه (CE). إذن \( (BK) \perp (CE) \).
في المثلث BCE، (BK) هو المستقيم المار من الرأس B وعمودي على الضلع المقابل (CE).
إذن، (BK) هو الارتفاع الصادر من B في المثلث BCE.
الخطوة 3: تحديد طبيعة المستقيم (EL)
النقطة L تنتمي للمستقيم (BC) وتنتمي للدائرة (\(\mathcal{C}'\)) التي قطرها [CE].
إذن، المثلث CLE قائم في L، مما يعني أن \( (EL) \perp (CL) \).
بما أن L تنتمي لـ (BC)، فإن (CL) هو نفسه (BC). إذن \( (EL) \perp (BC) \).
في المثلث BCE، (EL) هو المستقيم المار من الرأس E وعمودي على الضلع المقابل (BC).
إذن، (EL) هو الارتفاع الصادر من E في المثلث BCE.
الخطوة 4: الاستنتاج
المستقيمات (EL), (CH), (BK) هي ارتفاعات المثلث BCE. نحن نعلم أن ارتفاعات أي مثلث تتقاطع في نقطة واحدة تسمى نقطة التلاقي (أو المركز القائم).
إذن، المستقيمات الثلاثة تشترك في نقطة واحدة.