تصحيح مفصل للتمارين

تصحيح تمرين عدد 5

1. حساب قيمة B:
   - في حالة \(x=3\): \( B = 3(3)^2 - 8(3) - 3 = 3(9) - 24 - 3 = 27 - 24 - 3 = 0 \).
   - في حالة \(x=-\frac{1}{3}\): \( B = 3(-\frac{1}{3})^2 - 8(-\frac{1}{3}) - 3 = 3(\frac{1}{9}) + \frac{8}{3} - 3 = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 3 = \frac{9}{3} - 3 = 3 - 3 = 0 \).
2. تفكيك A: \( A = x^2 - 3x = x(x-3) \).
3. تبيين تفكيك B: ننشر الطرف الأيمن: \( (x-3)(3x+1) = 3x^2 + x - 9x - 3 = 3x^2 - 8x - 3 = B \).
4. تفكيك A-B: $$ A-B = (x^2-3x) - (3x^2-8x-3) = x^2 - 3x - 3x^2 + 8x + 3 = -2x^2 + 5x + 3 $$
5. حل المعادلة A=B: هذا يكافئ \( A-B=0 \)، أي \( -2x^2 + 5x + 3 = 0 \).
   المميز \( \Delta = 5^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49 \).
   الحلان هما \( x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{-12}{-4} = 3 \) و \( x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2(-2)} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} \).
6. حل المتراجحة: \( x^2+1 \ge x^2-3x \). هذا يكافئ \( 1 \ge -3x \)، أو \( 3x \ge -1 \). إذن \( x \ge -\frac{1}{3} \). مجموعة الحلول هي \( [-\frac{1}{3}, +\infty[ \).

تصحيح تمرين عدد 6

1. إحداثيات B:
   بما أن B مناظرة A بالنسبة لـ E، فإن E هي منتصف [AB].
   لتكن إحداثيات B هي \( (x_B, y_B) \). لدينا:
   \( x_E = \frac{x_A+x_B}{2} \implies 0 = \frac{-2+x_B}{2} \implies x_B = 2 \).
   \( y_E = \frac{y_A+y_B}{2} \implies 2 = \frac{3+y_B}{2} \implies 4 = 3+y_B \implies y_B = 1 \).
   إذن، \( B(2,1) \).
2. - K مناظرة B بالنسبة لـ S:
   S هي نقطة تقاطع (BK) مع (OJ) (محور الصادات). معادلة (OJ) هي \(x=0\).
   لنجد معادلة المستقيم (BK): الميل \( m = \frac{y_K - y_B}{x_K - x_B} = \frac{-4-1}{-2-2} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4} \).
   المعادلة هي \( y - 1 = \frac{5}{4}(x-2) \). عند \(x=0\) (نقطة S)، \( y - 1 = \frac{5}{4}(-2) = -\frac{5}{2} \). إذن \( y = 1 - \frac{5}{2} = -\frac{3}{2} \). إذن \( S(0, -\frac{3}{2}) \).
   لنحسب منتصف [BK]: \( (\frac{x_B+x_K}{2}, \frac{y_B+y_K}{2}) = (\frac{2-2}{2}, \frac{1-4}{2}) = (0, -\frac{3}{2}) \).
   منتصف [BK] هو S، إذن K مناظرة B بالنسبة لـ S.
   
   - حساب النسبة:
   \( AK = \sqrt{(x_K - x_A)^2 + (y_K - y_A)^2} = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-7)^2} = 7 \).
   \( ES = \sqrt{(x_S - x_E)^2 + (y_S - y_E)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-\frac{3}{2} - 2)^2} = \sqrt{(-\frac{7}{2})^2} = \frac{7}{2} \).
   \( \frac{AK}{ES} = \frac{7}{7/2} = 7 \times \frac{2}{7} = 2 \).

تصحيح تمرين عدد 7

في المثلث DBC:
- A هي منتصف [DB] (لأن D مناظرة B بالنسبة لـ A). إذن (CA) هو متوسط في المثلث DBC.
- H هي منتصف [BC] (معطى). إذن (DH) هو متوسط ثان في المثلث DBC.
- G هي نقطة تقاطع المتوسطين (CA) و (DH)، إذن G هي مركز ثقل المثلث DBC.
مركز الثقل يقسم كل متوسط بنسبة 2/3 من الرأس و 1/3 من الضلع.
إذن \( CG = \frac{2}{3} CA \). بما أن ABC متقايس الأضلاع، فإن \(CA=AB=a\).
إذن \( CG = \frac{2}{3}a \).
و \( AG = CA - CG = a - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a \).

تصحيح تمرين عدد 8

ملاحظة: يبدو أن هذا التمرين يعتمد على معطيات عددية غير متوفرة في الصورة (مثل أطوال أو نسب). سنقوم بالحل بناء على المعطيات الرمزية.

1. أ) مبرهنة طالس:
   بما أن MNCB شبه منحرف، فإن (MN) // (BC).
   لدينا المستقيمان (BM) و (CN) متقاطعان في A، ويقطعهما المتوازيان (MN) و (BC).
   حسب مبرهنة طالس، فإن: \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC} \).
   
   ب) حساب النسب:
   لا يمكن حساب قيمة عددية لـ \( \frac{AM}{AB} \) أو \(AM\) أو \(AB\) بدون معطيات إضافية (مثل أطوال MN و BC أو طول AB). إذا افترضنا أن السؤال كان "إذا علمت أن \(MN/BC=5/8\)" مثلاً، لكان \(AM/AB=5/8\). الأسئلة كما هي مكتوبة غير قابلة للحل عدديا.
2. أ) مبرهنة طالس مرة أخرى:
   لدينا S على (AB) و N على (AC) و (SN) // (MC).
   في المثلث AMC، بتطبيق مبرهنة طالس، لدينا: $$ \frac{AS}{AM} = \frac{AN}{AC} = \frac{SN}{MC} $$
   ب) استنتاج النسبة:
   من السؤال 1.أ، لدينا \( \frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB} \).
   ومن السؤال 2.أ، لدينا \( \frac{AS}{AM} = \frac{AN}{AC} \).
   إذن \( \frac{AS}{AM} = \frac{AM}{AB} \). لكي نثبت أن هذه النسبة تساوي 5/8، يجب أن تكون لدينا معطيات عددية من السؤال الأول، وهي غير متوفرة.