التمرين الثاني

تصحيح مفصل للتمرين

1) تبيين قيم \(a\) و \(b\)

بالنسبة لـ \(a\): $$ a = \frac{(1 + \sqrt{13})^2 - 8}{4} = \frac{1 + 2\sqrt{13} + 13 - 8}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{13}}{4} $$ $$ a = \frac{2(3 + \sqrt{13})}{4} = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} $$

بالنسبة لـ \(b\):
لدينا \( \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \). $$ b = \frac{2\sqrt{13} - 6}{4} = \frac{2(\sqrt{13} - 3)}{4} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2} $$

2) أ) حساب \(a - b\)

$$ a - b = \frac{\sqrt{13} + 3}{2} - \frac{\sqrt{13} - 3}{2} = \frac{(\sqrt{13} + 3) - (\sqrt{13} - 3)}{2} $$ $$ a - b = \frac{\sqrt{13} + 3 - \sqrt{13} + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

2) ب) بيّن أنّ \(a\) مقلوب \(b\)

يجب أن نثبت أن \( a \times b = 1 \). $$ a \times b = \left( \frac{\sqrt{13} + 3}{2} \right) \times \left( \frac{\sqrt{13} - 3}{2} \right) = \frac{(\sqrt{13})^2 - 3^2}{4} $$ $$ a \times b = \frac{13 - 9}{4} = \frac{4}{4} = 1 $$ إذن \(a\) هو مقلوب \(b\).

2) ج) إثبات واستنتاج القيمة

الجزء الأول: الإثبات $$ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2 = \frac{b^2 + a^2}{ab} - \frac{2ab}{ab} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} $$ بما أن \( ab = 1 \)، فإن $$ \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{(b-a)^2}{1} = (b-a)^2 $$
الجزء الثاني: استنتاج القيمة $$ \sqrt{\frac{b}{a} + \frac{a}{b} - 2} = \sqrt{(b-a)^2} = |b-a| $$ نعلم أن \( a - b = 3 \)، إذن \( b - a = -3 \). $$ |b-a| = |-3| = 3 $$

3) أ) حساب BE

المثلث ABE قائم في A، بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: $$ BE^2 = AB^2 + AE^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13 $$ $$ BE = \sqrt{13} $$

3) ب) تبيين قيم AI و BI

نصف قطر الدائرة Շ هو \( r = BE = \sqrt{13} \).
D نقطة من نصف المستقيم [AB)، إذن \( BD = r = \sqrt{13} \).
طول القطعة [AD] هو \( AD = AB + BD = 3 + \sqrt{13} \).
I هي منتصف [AD]، إذن: $$ AI = \frac{AD}{2} = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} $$ و $$ BI = AI - AB = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} - 3 = \frac{3 + \sqrt{13} - 6}{2} = \frac{\sqrt{13} - 3}{2} $$