دليل شامل لترشيد المقامات والحسابات

📚 ترشيد المقامات

الهدف: التخلص من الجذور في المقام

للمقام من النوع $a + b\sqrt{c}$:

اضرب البسط والمقام في المرافق $a - b\sqrt{c}$

$$\frac{x}{a + b\sqrt{c}} = \frac{x(a - b\sqrt{c})}{(a + b\sqrt{c})(a - b\sqrt{c})} = \frac{x(a - b\sqrt{c})}{a^2 - b^2c}$$

للمقام من النوع $a - b\sqrt{c}$:

اضرب في المرافق $a + b\sqrt{c}$

📐 قانون الفرق بين مربعين

القانون الأساسي:

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

تطبيق على الجذور:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$

مثال: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

🔍 جمع الكسور ذات المقامات المختلفة

الخطوات:

رشّد كل مقام على حدة
أوجد المقام المشترك
اجمع البسطين
بسّط النتيجة النهائية

مثال:

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}} + \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} + \frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$

⚠️ أخطاء شائعة في ترشيد المقامات

• تأكد من ضرب البسط والمقام في نفس العبارة

• انتبه لإشارات العبارات (+ أو -)

• لا تنس تبسيط النتيجة النهائية

• راجع حساب $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

• تأكد من ضرب جميع حدود البسط

تمارين ترشيد المقامات

المرافقات الفرق بين مربعين جمع الكسور

أ- اكتب بمقام عدد صحيح نسبي

أ1

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

للتخلص من الجذر في المقام:

• المرافق لـ $(2-\sqrt{3})$ هو $(2+\sqrt{3})$

• اضرب البسط والمقام في $(2+\sqrt{3})$

• استخدم قانون $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$

📝 طريقة الحل

الخطوة 1: اضرب في المرافق

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

الخطوة 2: احسب المقام

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

✅ الحل النهائي

$$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1 \times (2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$$

أ2

$$\frac{5}{2+\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

المرافق لـ $(2+\sqrt{3})$ هو $(2-\sqrt{3})$

اضرب البسط والمقام في $(2-\sqrt{3})$

📝 طريقة الحل

$$\frac{5}{2+\sqrt{3}} \times \frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$$

المقام: $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1$

✅ الحل النهائي

$$\frac{5}{2+\sqrt{3}} = \frac{5(2-\sqrt{3})}{1} = 10-5\sqrt{3}$$

أ3

$$\frac{\sqrt{5}}{2+2\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

أولاً، أخرج العامل المشترك من المقام:

$2+2\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})$

ثم رشّد $\frac{1}{1+\sqrt{3}}$

📝 طريقة الحل

$$\frac{\sqrt{5}}{2+2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2(1+\sqrt{3})}$$

$$= \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{1}{1+\sqrt{3}}$$

المرافق لـ $(1+\sqrt{3})$ هو $(1-\sqrt{3})$

✅ الحل النهائي

$$\frac{\sqrt{5}}{2(1+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{2(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{2(1-3)} = \frac{\sqrt{5}(1-\sqrt{3})}{-4}$$ $$= \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}-1)}{4}$$

أ4

$$\frac{3}{2\sqrt{3}-1}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

المرافق لـ $(2\sqrt{3}-1)$ هو $(2\sqrt{3}+1)$

احسب $(2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1)$

📝 طريقة الحل

$$\frac{3}{2\sqrt{3}-1} \times \frac{2\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}+1}$$

المقام: $(2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 12 - 1 = 11$

✅ الحل النهائي

$$\frac{3}{2\sqrt{3}-1} = \frac{3(2\sqrt{3}+1)}{11} = \frac{6\sqrt{3}+3}{11}$$

أ5

$$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

المرافق لـ $(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ هو $(\sqrt{2}-\sqrt{3})$

احسب $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 2-3 = -1$

📝 طريقة الحل

$$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$$

البسط: $2\sqrt{2}(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$

$= 2 \cdot 2 - 2\sqrt{6} = 4 - 2\sqrt{6}$

✅ الحل النهائي

$$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{4-2\sqrt{6}}{-1} = -4+2\sqrt{6} = 2\sqrt{6}-4$$

أ6

$$\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

المرافق لـ $(2+\sqrt{5})$ هو $(2-\sqrt{5})$

احسب $(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5}) = 4-5 = -1$

📝 طريقة الحل

$$\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} \times \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}}$$

البسط: $\sqrt{5}(2-\sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 5$

✅ الحل النهائي

$$\frac{\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}-5}{-1} = 5-2\sqrt{5}$$

ب- احسب

ب1

$$\frac{2}{2-\sqrt{3}} + \frac{3}{2+\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

رشّد كل كسر على حدة:

• $\frac{2}{2-\sqrt{3}} = 2(2+\sqrt{3})$ (من التمرين أ1)

• $\frac{3}{2+\sqrt{3}} = 3(2-\sqrt{3})$ (مشابه لأ2)

ثم اجمع النتائج

📝 طريقة الحل

ترشيد الكسر الأول:

$\frac{2}{2-\sqrt{3}} = 2(2+\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3}$

ترشيد الكسر الثاني:

$\frac{3}{2+\sqrt{3}} = 3(2-\sqrt{3}) = 6-3\sqrt{3}$

✅ الحل النهائي

$$\frac{2}{2-\sqrt{3}} + \frac{3}{2+\sqrt{3}} = (4+2\sqrt{3}) + (6-3\sqrt{3}) = 10-\sqrt{3}$$

ب2

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

رشّد كل كسر:

• للأول: اضرب في $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

• للثاني: اضرب في $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

المقام في كلا الحالتين: $2-3 = -1$

📝 طريقة الحل

الكسر الأول:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = \frac{2+\sqrt{6}}{-1} = -2-\sqrt{6}$

الكسر الثاني:

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{-1} = \frac{\sqrt{6}-3}{-1} = 3-\sqrt{6}$

✅ الحل النهائي

$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = (-2-\sqrt{6}) + (3-\sqrt{6}) = 1-2\sqrt{6}$$

ب3

$$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} + \frac{3-\sqrt{5}}{2+\sqrt{3}}$$

لم تبدأ بعد

💡 توجيه للتفكير

هذا التمرين أكثر تعقيداً:

• الكسر الأول: اضرب في $\frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

• الكسر الثاني: اضرب في $\frac{2-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

ستحتاج لحساب مربعات ومنتجات

📝 طريقة الحل

الكسر الأول:

$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{4+4\sqrt{3}+3}{1} = 7+4\sqrt{3}$

الكسر الثاني:

$\frac{3-\sqrt{5}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3})}{1}$

✅ الحل النهائي

$(3-\sqrt{5})(2-\sqrt{3}) = 6-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}$

$$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} + \frac{3-\sqrt{5}}{2+\sqrt{3}} = (7+4\sqrt{3}) + (6-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15})$$ $$= 13+\sqrt{3}-2\sqrt{5}+\sqrt{15}$$