نعتبر أعدادا حقيقية موجبة قطعا a و b و c حيث \( a^2b^2 = 6 \) و \( b^2c^2 = 15 \) و \( a^2c^2 = 10 \).
الفكرة: لدينا ثلاث علاقات، ونريد أن نجد علاقة بين \(a^2\) و \(c^2\). نلاحظ أن \(b^2\) موجودة في العلاقتين الأولى والثانية. إذا قمنا بقسمة العلاقتين، سيتم حذف \(b^2\).
الخطوة 1: نكتب العلاقتين: \( a^2b^2 = 6 \) و \( b^2c^2 = 15 \).
الخطوة 2: نقسم المعادلة الأولى على المعادلة الثانية.
\( \frac{a^2b^2}{b^2c^2} = \frac{6}{15} \)
الخطوة 3: نبسط الطرف الأيسر. نختزل \(b^2\) من البسط والمقام.
\( \frac{a^2}{c^2} \)
الخطوة 4: نبسط الطرف الأيمن. الكسر \( \frac{6}{15} \) يمكن تبسيطه بقسمة البسط والمقام على 3.
\( 6 \div 3 = 2 \) و \( 15 \div 3 = 5 \). إذن الكسر يصبح \( \frac{2}{5} \).
النتيجة: \( \frac{a^2}{c^2} = \frac{2}{5} \). وهو المطلوب.
الفكرة: سنستخدم النتيجة السابقة لمقارنة a و c.
الخطوة 1: لدينا \( \frac{a^2}{c^2} = \frac{2}{5} \).
الخطوة 2: نقارن الكسر \( \frac{2}{5} \) بالعدد 1. بما أن البسط (2) أصغر من المقام (5)، فإن الكسر أصغر من 1.
\( \frac{2}{5} < 1 \)
الخطوة 3: هذا يعني أن \( \frac{a^2}{c^2} < 1 \).
الخطوة 4: نضرب طرفي المتراجحة في \(c^2\). بما أن c عدد حقيقي موجب، فإن \(c^2\) موجب أيضاً، وبالتالي اتجاه المتراجحة لا يتغير.
\( a^2 < 1 \times c^2 \implies a^2 < c^2 \)
الخطوة 5: نأخذ الجذر التربيعي لطرفي المتراجحة. بما أن a و c عددان موجبان، يمكننا فعل ذلك مباشرة.
\( \sqrt{a^2} < \sqrt{c^2} \implies a < c \). وهو المطلوب.
الفكرة: يجب أن نتخلص من رمز القيمة المطلقة \( |...| \). نتذكر أن القيمة المطلقة لعدد موجب هي العدد نفسه، والقيمة المطلقة لعدد سالب هي معاكسه.
الخطوة 1: نحدد إشارة كل عبارة داخل القيمة المطلقة.
- \(a+b\): بما أن a و b موجبان، فإن مجموعهما موجب. إذن \( |a+b| = a+b \).
- \(b+c\): بما أن b و c موجبان، فإن مجموعهما موجب. إذن \( |b+c| = b+c \).
- \(a-c\): في السؤال السابق أثبتنا أن \( a < c \). هذا يعني أن \( a-c \) عدد سالب. إذن قيمته المطلقة هي معاكسه: \( |a-c| = -(a-c) = c-a \).
الخطوة 2: نعوض هذه النتائج في العبارة الأصلية.
\( (a+b) - (b+c) + (c-a) \)
الخطوة 3: نزيل الأقواس مع الانتباه لإشارة الناقص.
\( a + b - b - c + c - a \)
الخطوة 4: نجمع الحدود المتشابهة.
\( (a-a) + (b-b) + (-c+c) = 0 + 0 + 0 = 0 \).
النتيجة النهائية هي 0.
الفكرة: لدينا ثلاث معادلات. بضربها جميعاً، سنحصل على عبارة يمكننا من خلالها إيجاد a.
الخطوة 1: نضرب المعادلات الثلاثة طرفاً بطرف.
\( (a^2b^2) \times (b^2c^2) \times (a^2c^2) = 6 \times 15 \times 10 \)
الخطوة 2: نبسط الطرف الأيسر.
\( a^2 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b^2 \cdot c^2 \cdot c^2 = a^4 b^4 c^4 = (abc)^4 \)
الخطوة 3: نحسب الطرف الأيمن.
\( 6 \times 15 \times 10 = 90 \times 10 = 900 \).
إذن لدينا \( (abc)^4 = 900 \).
الخطوة 4: نأخذ الجذر التربيعي للطرفين لنجد \( (abc)^2 \).
\( (abc)^2 = \sqrt{900} = 30 \).
الخطوة 5: الآن نستخدم هذه النتيجة مع إحدى المعادلات الأصلية. نعلم أن \( (abc)^2 = a^2 \times (b^2c^2) \).
ونعلم من المعطيات أن \( b^2c^2 = 15 \).
إذن، \( a^2 \times 15 = 30 \).
الخطوة 6: نحل لإيجاد \( a^2 \).
\( a^2 = \frac{30}{15} = 2 \).
بما أن a عدد موجب، فإن \( a = \sqrt{2} \).
الفكرة: بعد أن وجدنا قيمة \(a^2\)، يمكننا استخدامها في المعادلات الأصلية لإيجاد b و c.
الخطوة 1 (إيجاد b): نستخدم المعادلة \( a^2b^2 = 6 \).
وجدنا أن \( a^2 = 2 \). إذن \( 2 \times b^2 = 6 \).
\( b^2 = \frac{6}{2} = 3 \).
بما أن b عدد موجب، فإن \( b = \sqrt{3} \).
الخطوة 2 (إيجاد c): نستخدم المعادلة \( a^2c^2 = 10 \).
وجدنا أن \( a^2 = 2 \). إذن \( 2 \times c^2 = 10 \).
\( c^2 = \frac{10}{2} = 5 \).
بما أن c عدد موجب، فإن \( c = \sqrt{5} \).
التحقق: لنتأكد من أن قيمنا صحيحة، نستخدم المعادلة الثالثة \( b^2c^2 = 15 \).
\( b^2 = 3 \) و \( c^2 = 5 \). إذن \( b^2c^2 = 3 \times 5 = 15 \). هذا يتوافق مع المعطيات.
نعتبر الأعداد الحقيقية التالية: \( x=\sqrt{5}-\sqrt{3} \), \( y=2-\sqrt{3} \) و \( z=\sqrt{3}-\sqrt{2} \).
الفكرة: لمقارنة عددين، يمكننا دراسة إشارة فرقهما. إذا كان الفرق موجباً، فالعدد الأول أكبر. إذا كان سالباً، فالعدد الثاني أكبر.
الخطوة 1: نحسب الفرق \( x-y \).
\( x-y = (\sqrt{5}-\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = \sqrt{5}-\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = \sqrt{5}-2 \).
الخطوة 2: نحدد إشارة \( \sqrt{5}-2 \). لمقارنة \( \sqrt{5} \) و 2، نقارن مربعيهما.
\( (\sqrt{5})^2 = 5 \) و \( 2^2 = 4 \).
بما أن \( 5 > 4 \)، فإن \( \sqrt{5} > 2 \).
الخطوة 3: بما أن \( \sqrt{5} > 2 \)، فإن الفرق \( \sqrt{5}-2 \) هو عدد موجب.
إذن \( x-y > 0 \)، وهذا يعني أن \( x > y \).
الفكرة: لإثبات الصيغ، سنستخدم تقنية "الضرب في المرافق" للتخلص من الجذر في المقام.
إثبات أن \( y = \frac{1}{2+\sqrt{3}} \):
مرافق \( 2+\sqrt{3} \) هو \( 2-\sqrt{3} \).
\( \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \times (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1} = 2-\sqrt{3} \). وهذه هي قيمة y.
إثبات أن \( z = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \):
مرافق \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \) هو \( \sqrt{3}-\sqrt{2} \).
\( \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{1 \times (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2} \). وهذه هي قيمة z.
استنتاج أن \( z > y \):
الفكرة: لمقارنة كسرين لهما نفس البسط (هنا البسط هو 1)، يكفي أن نقارن مقاميهما. الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر قيمة.
- مقام y هو \( 2+\sqrt{3} \).
- مقام z هو \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
لنقارن \( 2+\sqrt{3} \) و \( \sqrt{3}+\sqrt{2} \). هذا يكافئ مقارنة 2 و \( \sqrt{2} \).
نعلم أن \( 2 > \sqrt{2} \) (لأن \( 2^2=4 \) و \( (\sqrt{2})^2=2 \)).
إذن \( 2+\sqrt{3} > \sqrt{3}+\sqrt{2} \).
بما أن مقام y أكبر من مقام z، فإن قيمة y أصغر من قيمة z. إذن \( y < z \) أو \( z > y \).
أ) إثبات أن \( x-z = (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - 2\sqrt{3} \):
نقوم بحساب مباشر للفرق \(x-z\):
\( x-z = (\sqrt{5}-\sqrt{3}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}-2\sqrt{3} \). العبارة صحيحة.
ب) إثبات أن \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 2\sqrt{10}-5 \):
الطرف الأول: \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10} \).
الطرف الثاني: \( (2\sqrt{3})^2 = 2^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12 \).
الفرق بينهما: \( (7+2\sqrt{10}) - 12 = 2\sqrt{10} - 5 \). العبارة صحيحة.
ج) المقارنة والاستنتاج:
مقارنة 5 و \( 2\sqrt{10} \):
نربع العددين: \( 5^2=25 \) و \( (2\sqrt{10})^2 = 4 \times 10 = 40 \).
بما أن \( 40 > 25 \)، فإن \( 2\sqrt{10} > 5 \).
استنتاج المقارنة بين x و z:
بما أن \( 2\sqrt{10} > 5 \)، فإن الفرق \( 2\sqrt{10}-5 \) عدد موجب.
من السؤال (ب)، هذا الفرق يساوي \( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 \). إذن هذا الأخير موجب.
\( (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{3})^2 > 0 \implies (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2 > (2\sqrt{3})^2 \).
وبما أن الأعداد موجبة، فإن \( \sqrt{5}+\sqrt{2} > 2\sqrt{3} \).
وهذا يعني أن \( x-z = (\sqrt{5}+\sqrt{2}) - 2\sqrt{3} > 0 \).
إذن \( x > z \).
الترتيب التنازلي (من الأكبر إلى الأصغر):
- من (1) وجدنا: \( x > y \).
- من (2) وجدنا: \( z > y \).
- من (3) وجدنا: \( x > z \).
بجمع هذه النتائج، نجد أن x هو الأكبر، يليه z، ثم y هو الأصغر.
الترتيب التنازلي هو: \( x > z > y \).