التمرين الثاني (4 نقاط)

تصحيح مفصل للتمرين

1) أ) تبيين قيمة \(a\)

أولاً، نبسط الجذور: \( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2} \) و \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \). $$ a = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}(1 - \sqrt{2}) - 6 $$ $$ a = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) - 6 $$ $$ a = \sqrt{2} + 2(2) - 6 = \sqrt{2} + 4 - 6 = \sqrt{2} - 2 $$

1) ب) بيّن أنّ \(a\) عدد سالب قطعا

لمقارنة \( \sqrt{2} \) و 2، نقارن مربعيهما (لأنهما موجبان):
\( (\sqrt{2})^2 = 2 \) و \( 2^2 = 4 \).
بما أن \( 2 < 4 \)، فإن \( \sqrt{2} < 2 \).
وبالتالي، \( a = \sqrt{2} - 2 < 0 \). إذن \(a\) عدد حقيقي سالب قطعا.

2) أ) بيّن أنّ \( (3-3\sqrt{2})^2 = 27 - 18\sqrt{2} \)

باستخدام المتطابقة الهامة \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): $$ (3 - 3\sqrt{2})^2 = 3^2 - 2(3)(3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2})^2 $$ $$ = 9 - 18\sqrt{2} + 9(2) = 9 - 18\sqrt{2} + 18 = 27 - 18\sqrt{2} $$

2) ب) مقارنة واستنتاج قيمة \(b\)

- **مقارنة 3 و \(3\sqrt{2}\):** بما أن \( \sqrt{2} \approx 1.414 > 1 \)، فإن \( 3\sqrt{2} > 3 \).
- **استنتاج \(b\):** $$ b = 1 - \sqrt{27 - 18\sqrt{2}} $$ من السؤال السابق، نعوض بما تحت الجذر: $$ b = 1 - \sqrt{(3 - 3\sqrt{2})^2} = 1 - |3 - 3\sqrt{2}| $$ بما أننا أثبتنا أن \( 3 < 3\sqrt{2} \)، فإن \( 3 - 3\sqrt{2} \) عدد سالب.
إذن، \( |3 - 3\sqrt{2}| = -(3 - 3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 3 \). $$ b = 1 - (3\sqrt{2} - 3) = 1 - 3\sqrt{2} + 3 = 4 - 3\sqrt{2} $$

2) ج) بيّن أنّ \(b\) عدد سالب قطعا

لمقارنة 4 و \(3\sqrt{2}\)، نقارن مربعيهما:
\( 4^2 = 16 \) و \( (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18 \).
بما أن \( 16 < 18 \)، فإن \( 4 < 3\sqrt{2} \).
وبالتالي، \( b = 4 - 3\sqrt{2} < 0 \). إذن \(b\) عدد حقيقي سالب قطعا.

3) أ) بيّن أنّ \( a^2 = b - a \) ثم استنتج مقارنة

- **الإثبات:**
الطرف الأول: \( a^2 = (\sqrt{2} - 2)^2 = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(2) + 2^2 = 2 - 4\sqrt{2} + 4 = 6 - 4\sqrt{2} \).
الطرف الثاني: \( b - a = (4 - 3\sqrt{2}) - (\sqrt{2} - 2) = 4 - 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 6 - 4\sqrt{2} \).
بما أن الطرفين متساويان، فإن \( a^2 = b - a \).
- **المقارنة:**
لدينا \( b - a = a^2 \). بما أن \( a \neq 0 \)، فإن \( a^2 \) موجب قطعا.
إذن \( b - a > 0 \)، مما يعني أن \( b > a \).

3) ب) بيّن أنّ \( \frac{b^2}{a^2} - \frac{b}{a} = 4 - 3\sqrt{2} \)

ننطلق من الطرف الأيسر بأخذ \( \frac{b}{a} \) كعامل مشترك: $$ \frac{b^2}{a^2} - \frac{b}{a} = \frac{b}{a} \left( \frac{b}{a} - 1 \right) = \frac{b}{a} \left( \frac{b-a}{a} \right) = \frac{b(b-a)}{a^2} $$ من السؤال 3.أ، نعلم أن \( b - a = a^2 \). نعوض في العبارة: $$ \frac{b(a^2)}{a^2} = b $$ ونعلم من السؤال 2.ب أن \( b = 4 - 3\sqrt{2} \). إذن المساواة صحيحة.

3) ج) استنتج مقارنة بين \( \frac{b}{a} \) و \( (\frac{b}{a})^2 \)

لمقارنة عددين، ندرس إشارة فرقهما. لنحسب \( (\frac{b}{a})^2 - \frac{b}{a} \).
من السؤال 3.ب، وجدنا أن: $$ \left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{b}{a} = 4 - 3\sqrt{2} $$ ومن السؤال 2.ج، نعلم أن \( 4 - 3\sqrt{2} \) عدد سالب قطعا.
إذن: $$ \left(\frac{b}{a}\right)^2 - \frac{b}{a} < 0 $$ وهذا يعني أن: $$ \left(\frac{b}{a}\right)^2 < \frac{b}{a} $$