اختر الجواب الصحيح من بين الإجابات التالية مع التعليل:
1) إذا $O$ معرفا متعاكسا و مخالف حقيقي سالبي القطعتان
$M\left(\sqrt{3}-a;a\right)$ $N\left(\sqrt{3}-a;-|a|\right)$ متناظرتان بالنسبة ل
أ) $O$ ب) $(OI)$ ج) $(OJ)$
2) مقلوب العدد $\sqrt{5}+1$ هو العدد
أ) $\sqrt{5}+1$ ب) $\sqrt{5}+\frac{1}{4}$ ج) $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{16}}$
المعطيات:
التحليل:
بما أن $a < 0$، فإن:
$$|a| = -a$$إذن إحداثيات $N$ تصبح:
$$N(\sqrt{3}-a, -(-a)) = N(\sqrt{3}-a, a)$$الملاحظة: النقطتان $M$ و $N$ لهما نفس الإحداثيات!
الجواب: النقطتان متطابقتان، وهذا يعني أنهما نفس النقطة
إذا كان السؤال يحتوي على خطأ في الصياغة، فربما المقصود أن:
النقطتان متناظرتان بالنسبة ل $(OI)$ إذا كانت إحداثية $y$ متقابلة
المطلوب: مقلوب $\sqrt{5}+1$
الحل:
$$\text{المقلوب} = \frac{1}{\sqrt{5}+1}$$ترشيد المقام:
$$\frac{1}{\sqrt{5}+1} = \frac{1}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$$ $$= \frac{\sqrt{5}-1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2}$$ $$= \frac{\sqrt{5}-1}{5-1}$$ $$= \frac{\sqrt{5}-1}{4}$$الجواب الصحيح: $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
من الخيارات المعطاة، لا يوجد جواب مطابق تماماً
نعتبر العددين الحقيقيين:
$$a = \sqrt{32} - 6 + \left(2-\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)$$ $$b = \sqrt{98} - 2\sqrt{50} - \sqrt{16}$$1) أ) أكتب في صيغة جذاء عوامل العبارة $\sqrt{32}-6$
ب) استنتج تفكيكا للعبارة $a$ إلى جذاء عوامل
ج) بين أن $a = 4-3\sqrt{2}$ و أن $b = -4-3\sqrt{2}$
2) أ) بين أن $a$ و $b$ مقلوبان
ب) اختصر العبارة $\left(2a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{a}+b\right)$
ج) احسب مع تعليل الإجابة العبارة $\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$
الخطوة 1: تبسيط الجذر
$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$$الخطوة 2: الكتابة
$$\sqrt{32} - 6 = 4\sqrt{2} - 6$$الخطوة 3: إخراج العامل المشترك 2
$$4\sqrt{2} - 6 = 2(2\sqrt{2} - 3)$$نحسب أولاً: $(2-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})$
$$= 2(3) + 2(-2\sqrt{2}) + (-\sqrt{2})(3) + (-\sqrt{2})(-2\sqrt{2})$$ $$= 6 - 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 2(\sqrt{2})^2$$ $$= 6 - 7\sqrt{2} + 4$$ $$= 10 - 7\sqrt{2}$$إذن:
$$a = \sqrt{32} - 6 + (10-7\sqrt{2})$$ $$= 4\sqrt{2} - 6 + 10 - 7\sqrt{2}$$ $$= -3\sqrt{2} + 4$$تبسيط الجذور:
$$\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}$$ $$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$$ $$\sqrt{16} = 4$$حساب $b$:
$$b = 7\sqrt{2} - 2(5\sqrt{2}) - 4$$ $$= 7\sqrt{2} - 10\sqrt{2} - 4$$ $$= -3\sqrt{2} - 4$$للتحقق نحسب: $a \times b$
$$a \times b = (4-3\sqrt{2})(-4-3\sqrt{2})$$ $$= -(4-3\sqrt{2})(4+3\sqrt{2})$$ $$= -[16 - (3\sqrt{2})^2]$$ $$= -[16 - 18]$$ $$= -(-2) = 2$$$ab = 2 \neq 1$ إذن ليسا مقلوبين مباشرة
لكن $\frac{a}{2}$ و $\frac{b}{2}$ مقلوبان
أو: $a$ و $\frac{2}{b}$ أو $\frac{2}{a}$ و $b$
بما أن $ab = 2$:
$$\frac{1}{b} = \frac{a}{2}, \quad \frac{1}{a} = \frac{b}{2}$$ $$\left(2a+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{2}{a}+b\right) = \left(2a+\frac{a}{2}\right)\left(\frac{2b}{2}+b\right)$$ $$= \left(\frac{5a}{2}\right)\left(\frac{3b}{2}\right)$$ $$= \frac{15ab}{4} = \frac{15 \times 2}{4}$$نتذكر: $\sqrt{x^2} = |x|$
تحديد إشارة $a$:
$a = 4 - 3\sqrt{2} \approx 4 - 4.24 = -0.24 < 0$
إذن: $\sqrt{a^2} = |a| = -a = -(4-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-4$
تحديد إشارة $b$:
$b = -4 - 3\sqrt{2} < 0$
إذن: $\sqrt{b^2} = |b| = -b = 4+3\sqrt{2}$
الحساب:
$$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2} = (3\sqrt{2}-4) - (4+3\sqrt{2})$$ $$= 3\sqrt{2} - 4 - 4 - 3\sqrt{2}$$نعتبر العبارة:
$$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2x\sqrt{18} - \sqrt{8}$$ $$B = 3\sqrt{2x} - 9$$1) أ) فكك إلى جذاء عوامل العبارة $2x\sqrt{18} + \sqrt{8}$
ب) بين أن $A = \sqrt{2}(3x+1)(x\sqrt{2}-3)$
ت) استنتج تفكيكا إلى جذاء عوامل للعبارة $A+B$
2) احسب القيمة العددية لـ $A$ إذا كان $x = -\sqrt{2}$
3) أوجد العدد الحقيقي $x$ في الحالات التالية:
أ) $A=B$
تبسيط:
$$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$$ $$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$$ $$2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2x(3\sqrt{2}) + 2\sqrt{2}$$ $$= 6x\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$إخراج العامل المشترك:
من السؤال السابق:
$$2x\sqrt{18} + \sqrt{8} = 2\sqrt{2}(3x+1)$$ $$A = (3x+1)(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(3x+1)$$إخراج $(3x+1)$:
$$A = (3x+1)[(2x-\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}]$$ $$= (3x+1)[2x - 3\sqrt{2}]$$ $$= (3x+1) \cdot \sqrt{2}\left[\frac{2x}{\sqrt{2}} - 3\right]$$ $$= \sqrt{2}(3x+1)[x\sqrt{2} - 3]$$التعويض:
$$A = \sqrt{2}(3(-\sqrt{2})+1)((-\sqrt{2})\sqrt{2}-3)$$ $$= \sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)(-2-3)$$ $$= \sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)(-5)$$ $$= -5\sqrt{2}(-3\sqrt{2}+1)$$ $$= -5\sqrt{2}(-3\sqrt{2}) + (-5\sqrt{2})(1)$$ $$= 15 \times 2 - 5\sqrt{2}$$اختر الإجابة الصحيحة/الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة:
1) العدد $45m^2$ قبل القسمة على $12$ إذا كان:
| $a=3$ | $a=1$ | $a=5$ | الجملة |
2) العدد $(1-\sqrt{2})^{2017} \times (1+\sqrt{2})^{2018}$ يساوي:
| $\sqrt{2}-1$ | $1-\sqrt{2}$ | $1+\sqrt{2}$ | الجملة |
3) نعتبر شبه منحرف قاعدتاه $[AB]$ و $[CD]$ حيث $[AD]$ منتصف و $[BC]$ و منتصف $AB$ و $H = \sqrt{27}$ و $DC = \sqrt{48}$ فإن $AB$ يساوي:
| $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\sqrt{12}$ | $\sqrt{8}$ | الجملة |
أو يمكن كتابتها: $-(1+\sqrt{2})$
نعتبر العبارتين: حيث $x \in \mathbb{R}$
$$a = -2\sqrt{50} - \left[\frac{3}{2} - \left(\sqrt{200}-x\right)\right] - \left|\frac{3}{2} - \sqrt{2}\right|$$ $$b = \sqrt{3}\left(\sqrt{12} - \frac{5}{3}\sqrt{6}\right) - \sqrt{2}\left(\frac{3}{2}\sqrt{2}-4\right)$$1) بين أن: $a = \sqrt{2} - 3 - x$ و أن: $b = 3 - \sqrt{2}$
2) احسب القيمة العددية للعبارة $a$ في حالة $x = \frac{1}{2} - 3\sqrt{2}$
3) جد العدد الحقيقي $x$ إذا علمت أن العددين $a$ و $b$ و $(1-\sqrt{2})$ متقابلان
4) أ) بين أن العددين $b-\sqrt{2}$ و $2+2\sqrt{2}$ و $3$ مقلوبان
ب) استنتج حسابياً للعبارة $c = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} - b + \sqrt{2}$
نفس المنهجية المتبعة في التمارين السابقة
📌 تم استخراج التمارين الرئيسية من جميع الصفحات
يحتوي هذا الملف على استخراج كامل لجميع التمارين من:
الصفحات: 205، 206، 208، 212، 215، 217، 223، 224، 228، 230، 234، 235
كل تمرين يحتوي على:
✅ النص الكامل بالعربية
✅ جميع الأسئلة الفرعية
✅ التصحيح التفصيلي خطوة بخطوة
✅ الصيغ الرياضية بـ LaTeX