📐 سلسلة تمارين الرياضيات 📐

حلول تفصيلية كاملة لجميع التمارين

التمرين الأول - اختيار من متعدد (QCM)
اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة من بين الاقتراحات المقدمة ثم اكتب رقم الجملة والإجابة المختارة أمامها
1) \( ABCD \) متوازي أضلاع مركزه \( O \) إذن إحداثيات النقطة \( D \) هي:
• \( D(0;1) \) • \( D(-1;1) \) • \( D(1;1) \)
2) مقلوب العدد \( 1-\sqrt{3} \) هو:
• \( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \) • \( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \) • \( \frac{1+\sqrt{3}}{2} \)
3) في المعين \( (O,I,J) \) إذا كان \( A(3;\sqrt{2}) \) و \( B(2;1) \) و \( C(3;-\sqrt{2}) \) والنقطة \( D \) حيث \( ABCD \) متوازي أضلاع فإن:
• \( D(6;0) \) • \( D(6;-1) \) • \( D(4;0) \)
4) \( a \) و \( b \) عددان حقيقيان مختلفان للعلاقة \( \sqrt{4a^2b} \) فإن:
• \( A = 2ab \) • \( A = -2ab \) • \( A = -4ab \)
5) \( B = -\pi - \sqrt{(1-\pi)^2} \) فإن:
• \( B = -1-2\pi \) • \( B = 1-2\pi \) • \( B = 1+\pi \)
✓ الحل الكامل والتفصيلي
السؤال 1: إيجاد إحداثيات D في متوازي الأضلاع ABCD
📝 معطيات ناقصة:
السؤال لم يذكر إحداثيات النقاط A و B و C، لذلك لا يمكن حساب D بدقة.
في متوازي أضلاع مركزه O، نعلم أن: \( \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0} \) و \( \vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0} \)
1 القاعدة العامة
\[ O = \frac{A + C}{2} = \frac{B + D}{2} \]
\[ D = 2O - B \]
بدون معطيات إضافية، لا يمكن تحديد الإجابة الصحيحة
السؤال 2: حساب مقلوب \( 1-\sqrt{3} \)
1 حساب المقلوب
\[ \frac{1}{1-\sqrt{3}} \]
2 ترشيد المقام
\[ \frac{1}{1-\sqrt{3}} \times \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{1-3} = \frac{1+\sqrt{3}}{-2} = \frac{-(1+\sqrt{3})}{2} = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \]
الإجابة الصحيحة: \( \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \) ✓
السؤال 3: إيجاد إحداثيات D في متوازي الأضلاع ABCD
1 المعطيات
\[ A(3;\sqrt{2}), \quad B(2;1), \quad C(3;-\sqrt{2}) \]
2 استخدام خاصية متوازي الأضلاع
💡 القاعدة:
في متوازي أضلاع: \( \vec{AB} = \vec{DC} \)
أو: \( B - A = C - D \Rightarrow D = A + C - B \)
\[ x_D = x_A + x_C - x_B = 3 + 3 - 2 = 4 \]
\[ y_D = y_A + y_C - y_B = \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) - 1 = -1 \]
⚠️ تصحيح:
الحساب يعطي \( D(4;-1) \) لكن هذا غير موجود في الخيارات.
دعونا نجرب طريقة أخرى باستخدام: \( \vec{AD} = \vec{BC} \)
3 الطريقة البديلة
\[ D = A + (C - B) = (3;\sqrt{2}) + (3-2;-\sqrt{2}-1) \]
\[ D = (3;\sqrt{2}) + (1;-\sqrt{2}-1) = (4;\sqrt{2}-\sqrt{2}-1) = (4;-1) \]
أقرب إجابة: \( D(4;0) \) (قد يكون هناك خطأ في نص السؤال)
السؤال 4: تبسيط \( A = \sqrt{4a^2b} \)
1 تحليل التعبير
\[ A = \sqrt{4a^2b} = \sqrt{4} \times \sqrt{a^2} \times \sqrt{b} = 2|a|\sqrt{b} \]
💡 ملاحظة:
النتيجة تعتمد على إشارة \( a \):
• إذا \( a > 0 \): \( A = 2a\sqrt{b} \)
• إذا \( a < 0 \): \( A = -2a\sqrt{b} \)
السؤال غير مكتمل (يحتاج معلومات عن إشارة a)
السؤال 5: حساب \( B = -\pi - \sqrt{(1-\pi)^2} \)
1 تبسيط الجذر
💡 تذكير:
\[ \sqrt{x^2} = |x| \]
\[ \sqrt{(1-\pi)^2} = |1-\pi| \]
2 تحديد الإشارة
📝 تحليل:
بما أن \( \pi \approx 3.14 > 1 \)، فإن:
\( 1 - \pi < 0 \)
إذن: \( |1-\pi| = -(1-\pi) = \pi - 1 \)
3 حساب B
\[ B = -\pi - (\pi - 1) = -\pi - \pi + 1 = 1 - 2\pi \]
الإجابة الصحيحة: \( B = 1 - 2\pi \) ✓
التمرين الثاني - تبسيط التعابير الجذرية
لتكن العبارتين:
\[ a = 5\sqrt{8} - 2\sqrt{72} + \sqrt{9} \]
\[ b = -1 + \sqrt{2}(2\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 2)(1 + \sqrt{2}) \]
1) بيّن أنّ \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) و \( b = 3 + 2\sqrt{2} \)
2) أ) أحسب \( a \times b \) ثم استنتج حسابا لـ \( |a| \)
ب) استنتج حساب العبارة \( c = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}(3\sqrt{2}-1) - 3(3+2\sqrt{2}) \)
ج) بيّن أنّ \( e \) عدد صحيح طبيعي حيث \( e = \left|\frac{2}{b}\right| \times \left|b + \frac{1}{a}\right| \)
د) أوجد العدد الحقيقي \( x \) بحيث \( (a+4\sqrt{2})x^2 - bx(1-3x) = 0 \)
✓ الحل الكامل والتفصيلي
السؤال 1: إثبات أن \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) و \( b = 3 + 2\sqrt{2} \)
أولاً: تبسيط a
1 تبسيط الجذور
\[ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \]
\[ \sqrt{9} = 3 \]
2 التعويض
\[ a = 5(2\sqrt{2}) - 2(6\sqrt{2}) + 3 \]
\[ a = 10\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 3 = -2\sqrt{2} + 3 = 3 - 2\sqrt{2} \]
∴ \( a = 3 - 2\sqrt{2} \) ✓
ثانياً: تبسيط b
1 تطوير التعابير
\[ \sqrt{2}(2\sqrt{2} + 1) = 2(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} = 2(2) + \sqrt{2} = 4 + \sqrt{2} \]
\[ (\sqrt{2} - 2)(1 + \sqrt{2}) = \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 - 2 - 2\sqrt{2} \]
\[ = \sqrt{2} + 2 - 2 - 2\sqrt{2} = -\sqrt{2} \]
2 جمع المكونات
\[ b = -1 + (4 + \sqrt{2}) - (-\sqrt{2}) \]
\[ b = -1 + 4 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} \]
∴ \( b = 3 + 2\sqrt{2} \) ✓
السؤال 2أ: حساب \( a \times b \) واستنتاج \( |a| \)
1 حساب الجداء
\[ a \times b = (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) \]
💡 المتطابقة:
\[ (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 \]
\[ a \times b = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4(2) = 9 - 8 = 1 \]
∴ \( a \times b = 1 \)
2 حساب \( |a| \)
📝 تحليل إشارة a:
\( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \)
\( a = 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2.828 = 0.172 > 0 \)
\[ |a| = a = 3 - 2\sqrt{2} \]
أو باستخدام:
\[ ab = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{b} = \frac{1}{3+2\sqrt{2}} \]
بترشيد المقام: \( a = \frac{3-2\sqrt{2}}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{2}}{1} = 3-2\sqrt{2} \)
∴ \( |a| = 3 - 2\sqrt{2} \)
السؤال 2ب: حساب \( c = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}(3\sqrt{2}-1) - 3(3+2\sqrt{2}) \)
1 استخدام نتيجة السؤال السابق
💡 نستخدم:
\[ \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{a} = b = 3+2\sqrt{2} \]
2 التعويض
\[ c = (3+2\sqrt{2})(3\sqrt{2}-1) - 3(3+2\sqrt{2}) \]
\[ c = (3+2\sqrt{2})[(3\sqrt{2}-1) - 3] \]
\[ c = (3+2\sqrt{2})(3\sqrt{2}-1-3) = (3+2\sqrt{2})(3\sqrt{2}-4) \]
3 التطوير
\[ c = 3(3\sqrt{2}) - 3(4) + 2\sqrt{2}(3\sqrt{2}) - 2\sqrt{2}(4) \]
\[ c = 9\sqrt{2} - 12 + 6(2) - 8\sqrt{2} \]
\[ c = 9\sqrt{2} - 12 + 12 - 8\sqrt{2} = \sqrt{2} \]
∴ \( c = \sqrt{2} \)
السؤال 2ج: إثبات أن \( e = \left|\frac{2}{b}\right| \times \left|b + \frac{1}{a}\right| \) عدد صحيح طبيعي
1 حساب \( \frac{2}{b} \)
\[ \frac{2}{b} = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} \]
💡 بما أن \( b > 0 \):
\[ \left|\frac{2}{b}\right| = \frac{2}{b} = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} \]
2 حساب \( b + \frac{1}{a} \)
💡 نستخدم:
\[ \frac{1}{a} = b \text{ (لأن } ab = 1 \text{)} \]
\[ b + \frac{1}{a} = b + b = 2b = 2(3+2\sqrt{2}) = 6 + 4\sqrt{2} \]
\[ \left|b + \frac{1}{a}\right| = 6 + 4\sqrt{2} \text{ (موجب)} \]
3 حساب e
\[ e = \frac{2}{3+2\sqrt{2}} \times (6+4\sqrt{2}) \]
\[ e = \frac{2(6+4\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = \frac{12+8\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} \]
\[ e = \frac{4(3+2\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = 4 \]
∴ \( e = 4 \) وهو عدد صحيح طبيعي ✓
السؤال 2د: إيجاد \( x \) حيث \( (a+4\sqrt{2})x^2 - bx(1-3x) = 0 \)
1 تبسيط \( a+4\sqrt{2} \)
\[ a + 4\sqrt{2} = (3-2\sqrt{2}) + 4\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} = b \]
2 إعادة كتابة المعادلة
\[ bx^2 - bx(1-3x) = 0 \]
\[ bx^2 - bx + 3bx^2 = 0 \]
\[ 4bx^2 - bx = 0 \]
\[ bx(4x - 1) = 0 \]
3 حل المعادلة
💡 بما أن \( b \neq 0 \):
\[ x = 0 \quad \text{أو} \quad 4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} \]
∴ \( x = 0 \) أو \( x = \frac{1}{4} \)
التمرين الثالث - تبسيط وحسابات
I) لتكن العبارتين التاليتين:
\[ a = \sqrt{75} - 3\sqrt{12} + \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} \]
\[ b = \frac{\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]
1) بيّن أنّ \( a = 2 - \sqrt{3} \) و \( b = 2 + \sqrt{3} \)
2) بيّن أنّ \( a \) و \( b \) متقلوبان
3) أحسب: \( c = \frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{\sqrt{3}}{b} \) و \( d = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} \)
II) لتكن العبارة التالية حيث \( x \) عدد حقيقي:
\[ E = \frac{1}{2-\sqrt{3}}(x^2-1) - 3(2+\sqrt{3}) \]
1) أحسب \( E \) إذا علمت أنّ \( x = \sqrt{2} \)
2) بيّن أنّ \( E = (2+\sqrt{3})(x^2-4) \)
3) أوجد العدد الحقيقي \( x \) إذا علمت أنّ: \( E = 0 \)
✓ الحل الكامل والتفصيلي
الجزء الأول (I)
السؤال I.1: إثبات أن \( a = 2 - \sqrt{3} \) و \( b = 2 + \sqrt{3} \)
أولاً: تبسيط a
1 تبسيط الجذور
\[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \]
\[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \]
\[ \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{24}{6}} = \sqrt{4} = 2 \]
2 التعويض
\[ a = 5\sqrt{3} - 3(2\sqrt{3}) + 2 \]
\[ a = 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2 = -\sqrt{3} + 2 = 2 - \sqrt{3} \]
∴ \( a = 2 - \sqrt{3} \) ✓
ثانياً: تبسيط b
1 تبسيط الكسر
\[ b = \frac{\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3}} \]
\[ b = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{3} = 4 - \sqrt{3} \]
⚠️ تصحيح:
الحساب يعطي \( b = 4 - \sqrt{3} \) وليس \( b = 2 + \sqrt{3} \)
دعونا نعيد التحقق...
2 إعادة الحساب
\[ b = \frac{\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1 + 3) - 3}{\sqrt{3}} \]
\[ = \frac{4\sqrt{3} - 3}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{3}{\sqrt{3}} \]
\[ = 4 - \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 - \frac{3\sqrt{3}}{3} = 4 - \sqrt{3} \]
📝 ملاحظة:
النتيجة المحسوبة \( b = 4 - \sqrt{3} \) تختلف عن المطلوب \( b = 2 + \sqrt{3} \)
قد يكون هناك خطأ في نص السؤال الأصلي.
السؤال I.2: إثبات أن a و b متقلوبان
1 باستخدام القيم المعطاة
\[ a \times b = (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) \]
\[ = 4 - 3 = 1 \]
إذا كانت القيم المعطاة صحيحة، فإن \( a \times b = 1 \) (متقلوبان) ✓
السؤال I.3: حساب \( c \) و \( d \)
1 حساب c
💡 نستخدم:
إذا كان \( ab = 1 \)، فإن \( \frac{1}{a} = b \) و \( \frac{1}{b} = a \)
\[ c = \frac{\sqrt{3}}{a} - \frac{\sqrt{3}}{b} = \sqrt{3}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right) \]
\[ = \sqrt{3}(b - a) = \sqrt{3}[(2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3})] \]
\[ = \sqrt{3}(2\sqrt{3}) = 2(3) = 6 \]
∴ \( c = 6 \)
2 حساب d
\[ d = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{b}{a}} \]
💡 بما أن \( ab = 1 \):
\[ \frac{b}{a} = b \times \frac{1}{a} = b \times b = b^2 \]
\[ d = \sqrt{b^2} = |b| = b = 2 + \sqrt{3} \]
∴ \( d = 2 + \sqrt{3} \)
الجزء الثاني (II)
السؤال II.1: حساب E عندما \( x = \sqrt{2} \)
1 ترشيد \( \frac{1}{2-\sqrt{3}} \)
\[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \]
2 التعويض بـ \( x = \sqrt{2} \)
\[ E = (2+\sqrt{3})[(\sqrt{2})^2 - 1] - 3(2+\sqrt{3}) \]
\[ E = (2+\sqrt{3})(2-1) - 3(2+\sqrt{3}) \]
\[ E = (2+\sqrt{3}) - 3(2+\sqrt{3}) = -2(2+\sqrt{3}) \]
\[ E = -4 - 2\sqrt{3} \]
∴ \( E = -4 - 2\sqrt{3} \) عندما \( x = \sqrt{2} \)
السؤال II.2: إثبات أن \( E = (2+\sqrt{3})(x^2-4) \)
1 تبسيط E
\[ E = (2+\sqrt{3})(x^2-1) - 3(2+\sqrt{3}) \]
\[ E = (2+\sqrt{3})[(x^2-1) - 3] \]
\[ E = (2+\sqrt{3})(x^2 - 4) \]
∴ \( E = (2+\sqrt{3})(x^2-4) \) ✓
السؤال II.3: إيجاد x حيث \( E = 0 \)
1 حل المعادلة
\[ E = 0 \Rightarrow (2+\sqrt{3})(x^2-4) = 0 \]
💡 بما أن \( 2+\sqrt{3} \neq 0 \):
\[ x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \]
∴ \( x = 2 \) أو \( x = -2 \)
التمرين الرابع - العبارة الجبرية F
لتكن العبارة:
\[ F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6 \]
حيث \( x \) عدد حقيقي
1) أحسب العبارة \( F \) إذا علمت أنّ \( x = -\frac{7}{5} \)
2) بيّن أنّ \( F = 5(x+3)(x+1) \)
3) أوجد العدد الحقيقي \( x \) في كل حالة من الحالات التالية:
أ) \( F = 0 \)
ب) \( F \) و \( (2x+6) \) متقايلان
ج) \( \sqrt{(x+1)^2} = x - 3 \)
✓ الحل الكامل والتفصيلي
السؤال 1: حساب F عندما \( x = -\frac{7}{5} \)
1 التعويض المباشر
\[ F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6 \]
\[ F = \left(5 \times \left(-\frac{7}{5}\right) + 7\right)\left(-\frac{7}{5} + 3\right) - 2\left(-\frac{7}{5}\right) - 6 \]
2 التبسيط
\[ 5x + 7 = -7 + 7 = 0 \]
\[ F = 0 \times \left(-\frac{7}{5} + 3\right) - 2\left(-\frac{7}{5}\right) - 6 \]
\[ F = 0 + \frac{14}{5} - 6 = \frac{14}{5} - \frac{30}{5} = -\frac{16}{5} \]
∴ \( F = -\frac{16}{5} \) عندما \( x = -\frac{7}{5} \)
السؤال 2: إثبات أن \( F = 5(x+3)(x+1) \)
1 تطوير F
\[ F = (5x + 7)(x + 3) - 2x - 6 \]
\[ F = 5x^2 + 15x + 7x + 21 - 2x - 6 \]
\[ F = 5x^2 + 20x + 15 \]
2 التحليل
\[ F = 5(x^2 + 4x + 3) \]
💡 تحليل ثلاثي الحدود:
نبحث عن عددين مجموعهما 4 وجداؤهما 3: هما 3 و 1
\[ x^2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) \]
\[ F = 5(x + 3)(x + 1) \]
∴ \( F = 5(x+3)(x+1) \) ✓
السؤال 3أ: إيجاد x حيث \( F = 0 \)
1 حل المعادلة
\[ F = 0 \Rightarrow 5(x+3)(x+1) = 0 \]
💡 بما أن \( 5 \neq 0 \):
\[ (x+3)(x+1) = 0 \]
\[ x + 3 = 0 \quad \text{أو} \quad x + 1 = 0 \]
\[ x = -3 \quad \text{أو} \quad x = -1 \]
∴ \( x = -3 \) أو \( x = -1 \)
السؤال 3ب: إيجاد x حيث F و \( (2x+6) \) متقايلان
📚 تعريف:
عددان متقايلان يعني أنهما متساويان
1 إنشاء المعادلة
\[ F = 2x + 6 \]
\[ 5(x+3)(x+1) = 2x + 6 \]
\[ 5(x+3)(x+1) = 2(x + 3) \]
2 التبسيط
\[ 5(x+3)(x+1) - 2(x+3) = 0 \]
\[ (x+3)[5(x+1) - 2] = 0 \]
\[ (x+3)(5x + 5 - 2) = 0 \]
\[ (x+3)(5x + 3) = 0 \]
3 إيجاد الحلول
\[ x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \]
\[ \text{أو} \quad 5x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5} \]
∴ \( x = -3 \) أو \( x = -\frac{3}{5} \)
السؤال 3ج: حل المعادلة \( \sqrt{(x+1)^2} = x - 3 \)
1 تبسيط الطرف الأيسر
💡 تذكير:
\[ \sqrt{a^2} = |a| \]
\[ \sqrt{(x+1)^2} = |x+1| \]
\[ |x+1| = x - 3 \]
2 شرط الحل
⚠️ مهم:
القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة، لذا يجب:
\( x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3 \)
3 حل المعادلة
الحالة 1: إذا \( x + 1 \geq 0 \) أي \( x \geq -1 \)
\[ x + 1 = x - 3 \Rightarrow 1 = -3 \] (مستحيل)
الحالة 2: إذا \( x + 1 < 0 \) أي \( x < -1 \)
\[ -(x+1) = x - 3 \]
\[ -x - 1 = x - 3 \]
\[ -2x = -2 \Rightarrow x = 1 \]
لكن \( x = 1 \) لا يحقق \( x < -1 \) (متناقض)
📝 التحقق مع الشرط:
نحتاج \( x \geq 3 \) من شرط المعادلة الأصلي.
إذا كان \( x \geq 3 \)، فإن \( x + 1 > 0 \) حتماً
إذن: \( x + 1 = x - 3 \) وهذا مستحيل
∴ المعادلة ليس لها حل في \( \mathbb{R} \)