I - الجمع والطرح في مجموعة الأعداد الحقيقية

خصائص عملية الجمع في $$\mathbb{R}$$:

• التبديل: $$a + b = b + a$$ لكل عددين حقيقيين $$a$$ و $$b$$
• التجميع: $$a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c$$ لكل ثلاثة أعداد حقيقية
• العنصر المحايد: $$a + 0 = 0 + a = a$$ لكل عدد حقيقي $$a$$
العدد 0 هو العنصر المحايد لعملية الجمع في $$\mathbb{R}$$
• المقابل: $$a + (-a) = (-a) + a = 0$$ لكل عدد حقيقي $$a$$
كل عدد حقيقي $$a$$ له مقابل يرمز له بـ (-a)
أمثلة للحساب:
أ) $$\frac{2}{3} - (\frac{5}{4} + \frac{1}{3})$$ ؛ ب) $$\frac{1}{4} + (-\frac{2}{5})$$ ؛ ج) $$\frac{2 + 5}{3 \cdot 3}$$
د) $$(2 - \frac{1}{2}) - (\frac{3}{2} + 2)$$ ؛ هـ) $$3 + (\frac{1}{2} - 2)$$ ؛ و) $$(\frac{2}{3} + \frac{5}{4}) - 1$$
تطبيق

أوجد العدد الحقيقي $$x$$ في كل من الحالات التالية:

$$6 - x = 2.34$$ ؛ $$\frac{3}{5} + x = \frac{1}{10}$$ ؛ $$x + \frac{1}{4} = 0$$ ؛ $$\frac{3}{2} - x = 1$$
الحلول:
• $$x = 6 - 2.34 = 3.66$$
• $$x = \frac{1}{10} - \frac{3}{5} = \frac{1-6}{10} = -\frac{1}{2}$$
• $$x = -\frac{1}{4}$$
• $$x = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$$
قواعد إضافية للطرح:
$$a - b = a + (-b)$$ ؛ $$-(-a) = a$$ ؛ $$-(a + b) = -a - b$$
$$-(a - b) = -a + b$$ ؛ $$a - (b + c) = a - b - c$$ ؛ $$a - (b - c) = (a - b) + c$$

II - الضرب والقسمة في مجموعة الأعداد الحقيقية

خصائص عملية الضرب في $$\mathbb{R}$$:

• التبديل: $$ab = ba$$ لكل عددين حقيقيين $$a$$ و $$b$$
• التجميع: $$a(bc) = (ab)c = abc$$ لكل ثلاثة أعداد حقيقية
• التوزيع على الجمع: $$a(b + c) = ab + ac$$
• التوزيع على الطرح: $$a(b - c) = ab - ac$$
• العنصر المحايد: $$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$$ (العدد 1 هو العنصر المحايد للضرب)
• المقلوب: $$a \times \frac{1}{a} = 1$$ للعدد الحقيقي $$a$$ غير المعدوم
أمثلة:
$$a = \frac{2}{3} \times 5$$ ؛ $$b = \frac{1}{2} \times (1 \times \frac{2}{5})$$
$$c = (-\frac{2}{3}) \times \frac{4}{5}$$ ؛ $$d = \frac{2}{3} \times (\frac{3}{5} - 1)$$
$$b = (\frac{2}{5} + 3) \times (\frac{10}{3} + \frac{1}{6})$$ ؛ $$a = (2 - \frac{3}{4}) \times (\frac{4}{5} - \frac{1}{6})$$
قاعدة مهمة: إذا كان $$ab = 0$$ فإن $$a = 0$$ أو $$b = 0$$
تطبيق

أوجد العدد الحقيقي $$x$$ في الحالات التالية:

$$\frac{1}{3}(\frac{3}{4}x + 1) - x + \frac{2}{3} = A$$ ؛ $$A = 2(x - 1) - 3(2 + x)$$
$$D = (x + 2)(3 - x) - (1 - x)(2 + x)$$ ؛ $$C = (x - 1)(x + 3)$$

قواعد القسمة:

للعددين الحقيقيين $$a$$ و $$b$$ حيث $$b \neq 0$$:
$$\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$$ ؛ $$\frac{1}{\frac{1}{b}} = b$$
$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$ ؛ $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

III - القيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتها

تعريف القيمة المطلقة:

ليكن $$M$$ نقطة من المستقيم المدرج التي إحداثيتها $$(OI)$$ هو العدد الحقيقي $$x$$، نكتب $$|x| = OM$$

• إذا كان $$x \geq 0$$ فإن $$|x| = x$$
• إذا كان $$x < 0$$ فإن $$|x| = -x$$
• $$|x| = 0$$ إذا وفقط إذا $$x = 0$$
• $$|x| = a$$ (حيث $$a \in \mathbb{R}^+$$) إذا وفقط إذا $$x = a$$ أو $$x = -a$$
خصائص القيمة المطلقة:
$$|ab| = |a| \cdot |b|$$ لكل عددين حقيقيين $$a$$ و $$b$$
$$\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$$ للعدد الحقيقي $$b$$ غير المعدوم
$$\frac{1}{|b|} = \frac{1}{|b|}$$ ؛ $$\frac{|a|}{|b|} = \left|\frac{a}{b}\right|$$
تطبيق

أوجد القيمة المطلقة للأعداد التالية:

$$(-\sqrt{3})$$ ؛ $$3.21$$ ؛ $$0$$ ؛ $$(-2)$$ ؛ $$2$$ ؛ $$(-\pi)$$ ؛ $$\frac{3}{4}$$
أوجد العدد الحقيقي $$x$$ إذا علمت أن:
• $$|x| = \frac{1}{2}$$ ← $$x = \frac{1}{2}$$ أو $$x = -\frac{1}{2}$$
• $$|x| = \sqrt{3}$$ ← $$x = \sqrt{3}$$ أو $$x = -\sqrt{3}$$
• $$|x| = 2$$ ← $$x = 2$$ أو $$x = -2$$
• $$|x| = 0$$ ← $$x = 0$$
حل المعادلات:
$$\sqrt{2(3-x)} = 0$$ ← $$3-x = 0$$ ← $$x = 3$$
$$x + \sqrt{5x} = 0$$ ← $$x = 0$$ و $$\sqrt{5x} = 0$$ ← $$x = 0$$
$$(-2)x = 0$$ ← $$x = 0$$
$$(2-x)(x+3) = 0$$ ← $$x = 2$$ أو $$x = -3$$

IV - تبسيط جذور مربعة

خصائص الجذور المربعة:

للعددين الموجبين $$a$$ و $$b$$:
$$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$
$$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ حيث $$b \neq 0$$
$$\sqrt{a^2} = |a|$$ للعدد الحقيقي $$a$$
$$(\sqrt{a})^2 = a$$ للعدد الموجب $$a$$
أمثلة للتبسيط:
$$\sqrt{400} = \sqrt{4 \times 100} = 2 \times 10 = 20$$
$$\sqrt{49 \times 25} = 7 \times 5 = 35$$
$$\sqrt{\frac{400}{81}} = \frac{\sqrt{400}}{\sqrt{81}} = \frac{20}{9}$$
$$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$$
تطبيق

احسب وبسط:

$$(\sqrt{-5})^2$$ ← غير معرف
$$(\sqrt{16})^2 = 16$$
$$(\sqrt{2})^2 = 2$$

أوجد العدد الحقيقي $$x$$ في الحالات التالية:

$$x^2 = 3$$ ← $$x = \sqrt{3}$$ أو $$x = -\sqrt{3}$$
$$(1-x)^2 = 1$$ ← $$1-x = 1$$ أو $$1-x = -1$$ ← $$x = 0$$ أو $$x = 2$$
$$x^2 = 4$$ ← $$x = 2$$ أو $$x = -2$$
$$(2+x)^2 = 0$$ ← $$x = -2$$

عمليات أخرى مع الجذور:

$$a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a+c)\sqrt{b}$$
$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$ حيث $$b > 0$$
أمثلة متقدمة:
$$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$$
$$\sqrt{12} - \sqrt{27} + 2\sqrt{48} = 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$
$$A = \sqrt{32} - 2\sqrt{50} + \sqrt{128} = 4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

تمارين شاملة

التمرين 3

اكتب على الشكل $$a\sqrt{b}$$ حيث $$a$$ و $$b$$ عددان موجبان وتبسط الجذور:

$$\sqrt{20}$$ ؛ $$\sqrt{12}$$ ؛ $$\sqrt{72}$$ ؛ $$\sqrt{108}$$
التمرين 4

احسب بتبسيط الجذور:

$$A = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}$$ ؛ $$B = 2\sqrt{3} - 4\sqrt{2}$$
$$C = 2 - \sqrt{2}$$ ؛ $$D = \sqrt{5} - \sqrt{20}$$
ملخص عام:

هذه الدروس تشكل دليل القوة في فهم العمليات الحسابية في مجموعة الأعداد الحقيقية. من المهم إتقان هذه المفاهيم قبل الانتقال إلى مواضيع أكثر تقدماً في الرياضيات.

تذكر: تطبق خصائص العمليات وتأكد من التحقق من النتائج!