المعطيات:
\( a = \frac{1}{4} \sqrt{80} - \sqrt{20} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{27} \)
\( b = \frac{3}{\sqrt{5}} (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{\frac{20}{25}} \)
السؤال الأول
بيّن أن: \( a = 3 - \sqrt{5} \) و \( b = 3 + \sqrt{5} \).
التصحيح المفصل:
حساب a:
نبسط كل حد على حدة:
\( \frac{1}{4} \sqrt{80} = \frac{1}{4} \sqrt{16 \times 5} = \frac{1}{4} \times 4\sqrt{5} = \sqrt{5} \)
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{27} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 \)
نبسط كل حد على حدة:
\( \frac{1}{4} \sqrt{80} = \frac{1}{4} \sqrt{16 \times 5} = \frac{1}{4} \times 4\sqrt{5} = \sqrt{5} \)
\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{27} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3 \)
تجميع حدود a:
\[ a = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 3 = (1-2)\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5} \]
\[ a = \sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 3 = (1-2)\sqrt{5} + 3 = 3 - \sqrt{5} \]
حساب b:
نبسط كل حد على حدة:
\( \frac{3}{\sqrt{5}} (1 + \sqrt{5}) = \frac{3}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} + 3 \)
\( \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4 \times 5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
نبسط كل حد على حدة:
\( \frac{3}{\sqrt{5}} (1 + \sqrt{5}) = \frac{3}{\sqrt{5}} + \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} + 3 \)
\( \sqrt{\frac{20}{25}} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4 \times 5}}{5} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
تجميع حدود b:
\[ b = \left(\frac{3}{\sqrt{5}} + 3\right) + \frac{2\sqrt{5}}{5} \] لتبسيط \( \frac{3}{\sqrt{5}} \)، نضرب في المرافق: \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \).
\[ b = \frac{3\sqrt{5}}{5} + 3 + \frac{2\sqrt{5}}{5} = 3 + \frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{5} = 3 + \frac{5\sqrt{5}}{5} = 3 + \sqrt{5} \]
\[ b = \left(\frac{3}{\sqrt{5}} + 3\right) + \frac{2\sqrt{5}}{5} \] لتبسيط \( \frac{3}{\sqrt{5}} \)، نضرب في المرافق: \( \frac{3\sqrt{5}}{5} \).
\[ b = \frac{3\sqrt{5}}{5} + 3 + \frac{2\sqrt{5}}{5} = 3 + \frac{3\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{5} = 3 + \frac{5\sqrt{5}}{5} = 3 + \sqrt{5} \]
السؤال الثاني
هل أن العددين a و b مقلوبان؟
التصحيح المفصل:
لإثبات أن عددين مقلوبان، يجب أن يكون حاصل ضربهما يساوي 1.
حساب الجداء ab:
\[ ab = (3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) \]
باستخدام المتطابقة الهامة \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \):
\[ ab = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \]
\[ ab = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4 \]
الاستنتاج:
بما أن \( ab = 4 \neq 1 \)، فإن a و b ليسا مقلوبان.
بما أن \( ab = 4 \neq 1 \)، فإن a و b ليسا مقلوبان.
السؤال الثالث
أحسب: \( E = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) و \( F = \frac{4}{a} - \frac{1}{b} \)
التصحيح المفصل:
حساب E:
\[ E = \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \]
من السؤال السابق، نعلم أن \( ab=4 \). إذن:
\[ E = \sqrt{4} = 2 \]
حساب F:
\[ F = \frac{4}{a} - \frac{1}{b} = \frac{4b - a}{ab} \]
نعوض بقيم a و b و ab:
\[ F = \frac{4(3+\sqrt{5}) - (3-\sqrt{5})}{4} = \frac{12+4\sqrt{5} - 3+\sqrt{5}}{4} \]
تبسيط F:
\[ F = \frac{(12-3) + (4\sqrt{5}+\sqrt{5})}{4} = \frac{9 + 5\sqrt{5}}{4} \]
السؤال الرابع
بيّن أن: \( a + 2\sqrt{5} = b \)
التصحيح المفصل:
نبدأ من الطرف الأيسر:
\[ a + 2\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{5} \]
نبسط العبارة:
\[ = 3 + (-\sqrt{5} + 2\sqrt{5}) = 3 + \sqrt{5} \]
وهذه هي قيمة b. إذن المساواة صحيحة.